Función reflectante Mironenko

Una función reflexiva es una función que conecta el estado pasado del sistema con su estado futuro en un momento simétrico en el tiempo. El concepto de función reflectora fue introducido por Vladimir Ivanovich Mironenko .

Definición

Sea una solución general en forma de Cauchy de un sistema de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones estén determinadas únicamente por sus datos iniciales. La función reflectante de este sistema está determinada por la fórmula ${\ estilo de visualización \ varphi (t; t_ {0}, x)}$ ${\ estilo de visualización {\ punto {x}} = X (t, x),}$ $F(t,x)=\varphi (-t;t,x).$

Aplicación

Para un sistema periódico de ecuaciones diferenciales con una función reflectora , el mapeo sobre el período ( el mapeo de Poincaré ) se encuentra mediante la fórmula La función reflectora del sistema satisface la llamada relación básica ${\ estilo de visualización 2 \ omega}$ $t$ $F(t,x)$ ${\ estilo de visualización \ Pi (x)}$ $[-\omega ;\omega ]$ ${\ estilo de visualización \ Pi (x) = F (- \ omega, x).}$ ${\ estilo de visualización (\ omega, x_ {0})}$ ${\ estilo de visualización 2 \ omega}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (t; - \ omega, x_ {0})}$ $F(t,x)$ ${\ estilo de visualización {\ punto {x}} = X (t, x)}$

$F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,$ $F(0,x)=x.$

Usando esta relación, se establece que para muchos sistemas de ecuaciones diferenciales que no son integrables en cuadraturas , el mapeo del período se puede encontrar incluso a través de funciones elementales . En esto, la función reflexiva se puede comparar con un factor de integración . ${\ estilo de visualización \ Pi (x)}$ $[-\omega ;\omega ]$

La función reflectora se utiliza en el estudio de la existencia y estabilidad de soluciones periódicas de problemas de valores en la frontera para sistemas de ecuaciones diferenciales.

Véase también

Mapeo de Poincaré

Literatura

Mironenko V. I. Función reflectante y soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . - Minsk, Universitetskoe, 1986. - 76 p.
Mironenko VI Función reflectante e investigación de sistemas diferenciales multidimensionales. - Gómel: Mín. imágenes RB, GSU im. F. Skorina, 2004. - 196 p.

Enlaces

Sitio web sobre la función reflectante Archivado el 2 de marzo de 2022 en Wayback Machine .
Cómo construir sistemas diferenciales equivalentes Archivado el 19 de agosto de 2011 en Wayback Machine .