Paradoja de Bertrand (probabilidad)

La paradoja de Bertrand es un problema en la definición clásica de la teoría de la probabilidad . Joseph Bertrand describió la paradoja en su Calcul des probabilités (1888) como un ejemplo de cómo la probabilidad no puede definirse claramente hasta que se determine el mecanismo o método para elegir una variable aleatoria [1] .

Redacción de Bertrand

La paradoja de Bertrand es la siguiente: Considere un triángulo equilátero inscrito en un círculo . Se elige al azar una cuerda del círculo . ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda elegida sea más larga que el lado del triángulo?

Bertrand propuso tres soluciones, aparentemente correctas, pero que dieron resultados diferentes.

1. El método de "extremos aleatorios": seleccionamos aleatoriamente dos puntos en el círculo y dibujamos una cuerda a través de ellos. Para calcular la probabilidad deseada, imagina que se gira el triángulo de manera que uno de sus vértices coincida con el final de la cuerda. Tenga en cuenta que si el otro extremo de la cuerda se encuentra en el arco entre otros dos vértices del triángulo, entonces la longitud de la cuerda es mayor que el lado del triángulo. La longitud del arco considerado es igual a un tercio de la circunferencia, siguiendo la definición clásica, la probabilidad requerida es igual a .
2. El método de "radio aleatorio": fije el radio del círculo, seleccione al azar un punto en el radio. Construyamos una cuerda, perpendicular al radio fijo, que pase por el punto elegido. Para encontrar la probabilidad deseada, imagina que el triángulo se gira de modo que uno de sus lados sea perpendicular a un radio fijo. Una cuerda es más larga que un lado de un triángulo si su centro está más cerca del centro que el punto de intersección del triángulo con un radio fijo. El lado del triángulo biseca el radio, por lo que la probabilidad de elegir una cuerda es más larga que el lado del triángulo .
3. Método de "centro aleatorio": seleccionaremos aleatoriamente un punto arbitrario dentro del círculo y construiremos una cuerda centrada en el punto seleccionado. Una cuerda es más larga que un lado de un triángulo equilátero si el punto elegido está dentro de un círculo inscrito en el triángulo. El área del círculo inscrito es 1/4 del área del mayor, por lo que la probabilidad inicial es .

La elección del método también se puede representar de la siguiente manera. Un acorde se define únicamente por su punto medio. Los tres métodos descritos anteriormente dan una distribución diferente, cada una con su propia distribución del medio. Los métodos 1 y 2 representan dos distribuciones no uniformes diferentes, mientras que el tercer método proporciona una distribución uniforme. Por otro lado, si observa las imágenes de los acordes a continuación, se nota que los acordes en el método 2 dan un círculo relleno uniformemente, y los métodos 1 y 3 no dan esa imagen.

Se pueden idear otras distribuciones; muchos de ellos darán diferentes proporciones de cuerdas que son más largas que el lado del triángulo inscrito.

La solución clásica

La solución clásica al problema depende, por lo tanto, del método por el cual se elige aleatoriamente el acorde. Si y solo si se da el método de selección aleatoria, el problema tiene una solución bien definida. El método de selección no es único, por lo que no puede haber una única solución. Las tres soluciones presentadas por Bertrand corresponden a diferentes métodos de selección, y en ausencia de más información, no hay razón para preferir ninguno.

Esta y otras paradojas de la definición clásica de probabilidad justifican formulaciones más rigurosas que involucran probabilidades de frecuencia y probabilidades bayesianas subjetivas .

Solución de Janes usando el principio de incertidumbre

Edwin Jaynes , en su trabajo de 1973 "The Well-posed Problem" [2] , propuso una solución a la paradoja de Bertrand basada en el principio de incertidumbre : no debemos usar información que no se da en la condición. Jaynes señaló que el problema de Bertrand no especifica la posición o el tamaño del círculo y argumentó que, en tal caso, cualquier solución exacta y objetiva debe ser "indiferente" al tamaño y la posición. En otras palabras, la solución debe ser invariante a las dimensiones y transformaciones.

Para ilustrar: suponga que las cuerdas se encuentran al azar en un círculo con un diámetro de 2 (digamos, después de que se hayan arrojado pajitas al círculo desde la distancia). Luego se superpone otro círculo con un diámetro más pequeño (por ejemplo, 1.1) al grande. Ahora la distribución de cuerdas en el círculo más pequeño debería ser la misma que en el más grande. Si mueves el círculo más pequeño sobre el más grande, la probabilidad no debería cambiar. Esto debe expresarse claramente en caso de cambios en el método 3: la distribución de cuerdas en el círculo pequeño puede verse cualitativamente diferente de su distribución en el círculo grande.

La situación es la misma con el método 1, aunque es más complejo en la representación gráfica. Solo el método 2 es invariante tanto dimensional como transformacionalmente, el método 3 solo tiene invariancia dimensional, el método 1 no tiene ninguna.

Sin embargo, Jaynes no solo utilizó la invariancia para aceptar o rechazar estos métodos: esto significaría lo mismo que dejar abierta la posibilidad de la existencia de un método aún no descrito que cumpla con los criterios del sentido común . Jaynes usó ecuaciones integrales , que describen la invariancia, para determinar con precisión la probabilidad de una distribución. Para este problema, las igualdades integrales tienen una solución única, lo que se llama el método 2 anterior, el método del radio aleatorio.

Experimentos físicos

El método 2 es la única solución que tiene invariancia de transformación, que está presente en ciertos sistemas físicos (como la mecánica estadística y la física de gases ), así como en el experimento propuesto por Janes de arrojar popotes al azar desde una distancia en un círculo. Sin embargo, se pueden realizar otros experimentos que produzcan resultados para otros métodos. Por ejemplo, para llegar a una solución en el método 1, el método de finalización aleatoria, se podría colocar un puntero giratorio en el centro del círculo y dejar que los resultados de dos rotaciones independientes marquen los puntos inicial y final de las cuerdas. Para llegar a la solución en el método 3, se debe cubrir el círculo con melaza y marcar el primer punto donde aterriza accidentalmente la mosca como el punto medio de la cuerda. Varios observadores diseñaron experimentos para obtener diferentes soluciones y verificar empíricamente los resultados. [3] [4] [5]

Notas

1. ↑ Sekey G. Paradojas en teoría de probabilidad y estadística matemática. - M. : Mir, 1990. - S. 50-54. — 240 s.
2. ↑ Jaynes, E.T. (1973), The Well-Planed Problem , Foundations of Physics Vol. 3: 477–493, doi : 10.1007/BF00709116 , < http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf > Archivado el 12 de agosto de 2011 en Wayback Machine .   
3. ↑ Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions , The University of Chicago Press, p. 223–226, ISBN 978-0226282534  
4. ↑ Tissler, PE (marzo de 1984), Bertrand's Paradox , The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) . — T. 68 (443): 15–19 , DOI 10.2307/3615385 (inglés)  
5. ↑ Kac, Mark (mayo-junio de 1984), Marginalia: más sobre la aleatoriedad, American Scientist vol . 72 (3): 282–283