Paradoja submarina

La paradoja submarina (a veces llamada paradoja de Sappley ) es un experimento mental dentro de la teoría de la relatividad de Einstein que conduce a una paradoja que es difícil de resolver.

De acuerdo con la teoría especial de la relatividad de Einstein , desde el punto de vista de un observador estacionario, las dimensiones de un objeto que se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz disminuyen en la dirección del movimiento. Sin embargo, desde el punto de vista del objeto, por el contrario, son los observadores estacionarios los que parecen más cortos.

Si asumimos que cierto submarino se mueve bajo el agua a una velocidad cercana a la de la luz, aparecerá comprimido para los observadores estacionarios. Su densidad, en consecuencia, debería aumentar, lo que sin duda lo empujará al fondo. Pero desde el lado del objeto, la tripulación a bordo del submarino, todo se percibiría exactamente al revés: el agua "corriente" a su alrededor se comprime, lo que significa que se vuelve más densa y empuja el barco hacia la superficie.

En 1989, James Suppley resolvió la paradoja utilizando la relatividad especial. Este problema también se llama "Suppley Paradox" en su honor.

En 2003, el brasileño George Matsas de São Paulo abordó esta paradoja utilizando la relatividad general . Ambos científicos llegaron a la misma conclusión: el submarino se hundirá .

Los científicos explican la paradoja de diferentes maneras. Muchos factores actúan sobre las capas y sobre el barco, requiriendo una consideración obligatoria para la solución exitosa de esta paradoja. Aquí, hay un aumento en el efecto de la gravedad sobre el barco, que lo empujará hacia abajo, y una distorsión de la forma de las capas de agua hacia arriba (se "levantarán" desde el punto de vista del submarino debido a una violación). de la simultaneidad del inicio de la aceleración).

La esencia de la decisión

Toda la consideración se puede realizar en el marco de la teoría especial de la relatividad, pasando a un marco de referencia que se mueve con aceleración (en el que conviene introducir las coordenadas de Rindler ). Sin embargo, es más fácil considerar todo desde un marco de referencia inercial, donde la aceleración del líquido es causada por alguna razón, por ejemplo, el líquido está cargado eléctricamente y está en un campo eléctrico, o está apuntalado por un Muro de movimiento acelerado. Es importante que esta razón no acelere el submarino; por ejemplo, el submarino es neutral o no hace contacto con la pared. Nos restringimos al momento inicial de tiempo en que el líquido está en reposo, y la velocidad del submarino es 0 para el caso "estacionario", y (con el correspondiente ) para el caso "en movimiento". $v$ $\gamma ={\frac{1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

Desde el punto de vista de los observadores inerciales, la aceleración de un submarino (ya sea en reposo o en movimiento) es causada por la transferencia de cantidad de movimiento de las moléculas del líquido a las moléculas del submarino: esta es la definición microscópica de presión. Esta transmisión es proporcional al área superficial del líquido en contacto con el submarino, y por lo tanto disminuye por un factor a medida que el submarino se encoge debido a su movimiento. Por lo tanto, la transferencia de impulso es igual para un submarino "estacionario" y para uno "en movimiento". Ahora es fácil calcular las aceleraciones que reciben los submarinos en el momento inicial: para un submarino “parado”, este será un valor que, por condición, coincide con la aceleración del líquido. $\gama$ ${\frac{dp_{0}}{dt}}$ ${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma}}{\frac {dp_{0}}{dt}}$

$a_{0}={\frac{1}{m}}{\frac{dp_{0}}{dt}},$

dónde está la masa del submarino, y para el "movimiento" $metro$

$a={\frac {1}{\gamma m}}{\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma ^{2}m}}{\frac {dp_{0}} {dt}}={\frac{a_{0}}{\gamma^{2}}},$

donde se tiene en cuenta que el submarino acelera perpendicularmente a su dirección de movimiento. Como puede ver, la aceleración de un submarino "en movimiento" es menor que la de uno en reposo: se hundirá.

Ahora considere la situación en el marco de referencia, donde el submarino está "estacionario", pero el fluido se está moviendo. La densidad del líquido aumentará debido a su contracción relativista, lo que aumentará la fuerza de Arquímedes por un factor, es decir, la transferencia de cantidad de movimiento se igualará , lo que hará que el submarino acelere. $\gama$ ${\frac {dp'}{dt'}}=\gamma {\frac {dp_{0}}{dt}}$

$a_{s}'={\frac {1}{m}}{\frac {dp'}{dt'}}=\gamma a_{0}.$

Sin embargo, tras la transición a este marco de referencia inercial, la aceleración del líquido también cambiará. Habiendo señalado un determinado nivel en el líquido, tenemos en el sistema original su ecuación de movimiento , y en el nuevo, según las transformaciones de Lorentz para la ubicación del submarino , obtenemos , es decir, la aceleración del nivel del líquido , medido desde el submarino, es igual a . Es mayor que la aceleración del submarino: se hundirá. $z=a_{0}t^{2}/2$ $x=vt\flecha derecha t=\gamma t'$ $z'=z=a_{0}t^{2}/2=a_{0}\gamma ^{2}t'^{2}/2=a't'^{2}/2,$ $a_{l}'=\gamma^{2}a_{0}$

Se obtiene exactamente el mismo resultado si tomamos la ecuación correcta del movimiento hiperbólico en lugar de la aproximada, que es correcta solo cerca de . También hay algún efecto relacionado con la violación de la simultaneidad de la aceleración de diferentes partes del fluido con respecto al marco de referencia del submarino, pero esto puede reducirse a un valor insignificante eligiendo una pequeña aceleración y/o tamaño del submarino. en la dirección del viaje (ver el trabajo de Matsas para un análisis detallado). $z={\frac {c}{a{\sqrt {c^{2}+a^{2}t^{2))))}-{\frac {c^{2}}{a}}+ z_{0}$ $t=0,\ z={\frac{a_{0}t^{2}}{2}}$

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