Coordenadas de Rindler

En la física relativista , las coordenadas de Rindler son un sistema de coordenadas que representa una parte del espacio-tiempo plano , también llamado espacio de Minkowski . Las coordenadas de Rindler fueron introducidas por Wolfgang Rindler para describir el espacio-tiempo de un observador uniformemente acelerado .

Relación con coordenadas cartesianas

Para obtener las coordenadas de Rindler, es natural partir de las coordenadas galileanas

ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\;\;-\infty <T,\;X,\;Y,\ ;Z<\infty\;.

En la región , que a menudo se denomina Rindler Wedge , definimos nuevas coordenadas a través de la siguiente transformación $0<X<\infty,\;-X<T<X$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {T}{X}},\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y= Y,\cuadrado z=Z.

La transformación inversa será

T=x\,{\mathrm {sh}}\,t,\quad X=x\,{\mathrm {ch}}\,t,\quad Y=y,\quad Z=z.

En coordenadas de Rindler, el elemento lineal del espacio de Minkowski entra en

ds^{2}=-x^{2}\,dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\quad 0<x<\infty,\quad - \infty <t,\;y,\;z<\infty .

Los observadores de Rindler

En las nuevas coordenadas, es natural introducir un campo de tétrada covariante

d\sigma ^{0}=-x\,dt,\quad d\sigma ^{1}=dx,\quad d\sigma ^{2}=dy,\quad d\sigma ^{3}=dz,

que corresponde al campo dual de los vectores contravariantes tétradas

{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\,\parcial _{t},\quad {\vec {e}}_{1}=\parcial _{x },\quad {\vec {e}}_{2}=\parcial_{y},\quad {\vec {e}}_{3}=\parcial_{z}.

Estos campos describen los marcos de referencia locales de Lorentz en el espacio tangente en cada evento del área cubierta por las coordenadas de Rindler, es decir, la cuña de Rindler. Las curvas integrales del campo vectorial unitario temporal dan una congruencia temporal , que consiste en las líneas de mundo de una familia de observadores llamados observadores Rindler . En las coordenadas de Rindler, sus líneas universales están representadas por líneas de coordenadas verticales . Usando las transformaciones de coordenadas presentadas anteriormente, es fácil mostrar que en las coordenadas cartesianas originales estas líneas se convierten en ramas de hipérbolas. ${\ vec {e}}_{0}$ $x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

Al igual que con cualquier congruencia temporal en una variedad de Lorentz, esta congruencia puede estar sujeta a una descomposición cinemática (ver la ecuación de Raychaudhuri ). En el caso bajo consideración, la expansión y la rotación de la congruencia de los observadores de Rindler son idénticamente iguales a cero. La desaparición del tensor de expansión implica que cada observador mantiene una distancia constante con los vecinos más cercanos . La desaparición del tensor de rotación, a su vez, significa que las líneas del mundo de los observadores no giran una alrededor de la otra.

El vector aceleración de cada observador viene dado por la derivada covariante

\nabla _{({\vec {e}}_{0}}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1 }

Esto significa que cada observador de Rindler está acelerando en la dirección , experimentando una aceleración de magnitud constante , por lo que sus líneas de mundo son líneas de movimiento hiperbólico , los análogos lorentzianos de los círculos, es decir, líneas de curvatura primera constante y segundo cero. $\parcial _{x}$

Debido a la no rotación de los observadores de Rindler , su congruencia también es ortogonal , es decir, existe una familia de hipersuperficies en cada punto cuyos vectores de congruencia son proporcionales a las normales de esas superficies. Las porciones de tiempo ortogonales corresponden a ; corresponden a medios hiperplanos horizontales en coordenadas de Rindler y medios hiperplanos oblicuos en coordenadas cartesianas que pasan (ver figura arriba). Poniendo un elemento de línea , vemos que describe la geometría euclidiana usual . Así, las coordenadas espaciales de Rindler tienen una interpretación muy sencilla, compatible con el enunciado sobre la estacionariedad mutua de los observadores de Rindler. Volveremos sobre esta propiedad de la “rigidez” más adelante. $t=t_{0}$ $T=X=0$ $dt=0$ $d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;0<x<\infty,\;-\infty <y,\;z<\infty$

Una propiedad "paradójica" de las coordenadas de Rindler

Tenga en cuenta que los observadores de Rindler con coordenadas más pequeñas aceleran con más fuerza . Esto puede parecer extraño, ya que en la física newtoniana, los observadores que mantienen una distancia constante entre sí deberían experimentar la misma aceleración. Pero en la física relativista, el extremo trasero de una barra "absolutamente rígida", acelerada en la dirección de su propia extensión por la fuerza aplicada, debe acelerar un poco más que su extremo delantero. $X$

Este fenómeno es la base de la paradoja de Bell . Sin embargo, esto es simplemente una consecuencia de la cinemática relativista. Una forma de mostrar esto es considerar la magnitud del vector aceleración como la curvatura de la línea de mundo correspondiente. Pero las líneas de mundo de los observadores de Rindler son análogas a la familia de los círculos concéntricos en el plano euclidiano, por lo que estamos ante el análogo lorentziano del hecho bien conocido: en la familia de los círculos concéntricos, los círculos interiores se desvían de una línea recta . por unidad de longitud de arco más rápido que los exteriores .

Observadores de Minkowski

También vale la pena introducir un marco de referencia alternativo dado por la elección estándar de tétradas en coordenadas de Minkowski

{\vec {f}}_{0}=\parcial_{T},\quad {\vec {f}}_{1}=\parcial_{X},\quad {\vec {f}}_ {2}=\parcial_{Y},\quad {\vec {f}}_{3}=\parcial_{Z}.

Transformando estos campos vectoriales a coordenadas de Rindler, obtenemos que en la cuña de Rindler este marco de referencia tiene la forma

\left\{{\begin{matriz}{\vec {f}}_{0}={\frac {{\mathrm {ch}}\,t}{x}}\,\parcial _{t}- {\mathrm {sh}}\,t\,\parcial _{x}\\{\vec {f}}_{1}=-{\frac {{\mathrm {sh}}\,t}{x }}\,\parcial_{t}+{\mathrm {ch}}\,t\,\parcial_{x}\\{\vec {f}}_{2}=\parcial_{y}, \quad {\vec {f}}_{3}=\parcial _{z}\end{matriz}}\right.

Efectuando la expansión cinemática de la congruencia temporal definida por el campo vectorial , obviamente obtenemos expansión y rotación nulas, y además, la ausencia de aceleración . En otras palabras, esta congruencia es una geodésica ; los observadores correspondientes están en caída libre . En el sistema de coordenadas cartesiano original, estos observadores, llamados observadores de Minkowski , están en reposo. ${\ vec {f}}_{0}$ $\nabla _{({\vec {f}}_{0}}}{\vec {f}}_{0}=0$

En las coordenadas de Rindler, las líneas de mundo de los observadores de Minkowski son arcos hiperbólicos que se acercan asintóticamente al plano de coordenadas . En particular, en las coordenadas de Rindler, la línea de universo del observador Minkowski que pasa por el evento tendrá la forma $x=0$ $t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {s}{x_{0}}},\quad x={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}} },\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad -x_{0}<s<x_{0}\;,

¿ Dónde está el tiempo propio de este observador? ¡Tenga en cuenta que las coordenadas de Rindler cubren solo una pequeña parte de la historia completa de este observador! Esto muestra directamente que las coordenadas de Rindler no son geodésicas completas : las geodésicas temporales salen del área cubierta por estas coordenadas en un tiempo propio finito. Naturalmente, esto era de esperarse, ya que las coordenadas de Rindler cubren solo una parte de las coordenadas cartesianas originales, que son geodésicamente completas. $s$

Horizonte de Rindler

Las coordenadas de Rindler tienen una singularidad de coordenadas en , donde el tensor métrico (expresado en coordenadas de Rindler) tiene un determinante nulo . Esto se debe a que, a medida que la aceleración de los observadores de Rindler diverge, tiende a infinito. Como puede verse en la figura que ilustra la cuña de Rindler, el lugar geométrico en las coordenadas de Rindler corresponde al lugar geométrico en las coordenadas de Minkowski, que consta de dos semiplanos similares a la luz, cada uno de los cuales está cubierto por su propia geodésica similar a la luz. congruencia. Estos loci se denominan horizonte de Rindler . $x=0$ $x\flecha derecha 0$ $x=0$ $T^{2}=X^{2},\;X>0$

Aquí simplemente consideramos el horizonte como el límite del área cubierta por las coordenadas de Rindler. El artículo Rindler's Horizon muestra que este horizonte es en realidad similar en propiedades básicas al horizonte de eventos de un agujero negro .

Líneas geodésicas

Las ecuaciones geodésicas en coordenadas de Rindler se derivan simplemente del Lagrangiano :

{\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}{\dot {t}}=0,\quad {\ddot {x}}+x{\ punto {t}}^{2}=0,\quad {\ddot {y}}=0,\quad {\ddot {z}}=0\;.

Naturalmente, en las coordenadas cartesianas originales, estas geodésicas parecen líneas rectas, por lo que pueden obtenerse fácilmente a partir de líneas rectas mediante una transformación de coordenadas. Sin embargo, será instructivo obtener y estudiar las geodésicas en las coordenadas de Rindler, independientemente de las coordenadas originales, y esto es exactamente lo que se hará aquí.

De la primera, tercera y cuarta ecuaciones se obtienen inmediatamente las primeras integrales

{\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\quad {\dot {y}}=P,\quad {\dot {z}}=Q\;.

Pero del elemento de línea se sigue dónde para las geodésicas de tiempo, luz y espacio, respectivamente. Esto da la cuarta primera integral de las ecuaciones, a saber $\varepsilon =-x^{2}\,{\punto {t}}^{2}+{\punto {x}}^{2}+{\punto {y}}^{2}+{\punto {z}}^{2}\;,$ $\varepsilon =-1,\,0,\,1$

{\dot {x}}^{2}=\left(-\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{ 2}\;.

Esto es suficiente para la solución completa de las ecuaciones geodésicas.

En el caso de las geodésicas similares a la luz , desde un valor distinto de cero , la coordenada cambia en el intervalo . ${\frac{E^{2}}{x^{2}}}-P^{2}-Q^{2}$ $mi$ $X$ $0<x<{\frac{E}{{\sqrt {P^{2}+Q^{2))))}$

La familia completa de siete parámetros de geodésicas similares a la luz que pasan a través de cualquier evento de cuña de Rindler es

{\begin{matriz}t-t_{0}&=&{\mathrm {arth}}\left(\displaystyle {\frac {s\,(P^{2}+Q^{2})-{\ sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))){E}}\right)\\&&+~{\mathrm { arth}}\,\left(\displaystyle {\frac {{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))) {E}}\right)\end{matriz}}

x={\raíz cuadrada {x_{0}^{2}+2\,s\,{\raíz cuadrada {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0} ^{2}}}-s^{2}\,(P^{2}+Q^{2})}}

y-y_{0}=P\,s;\quad z-z_{0}=Q\,s.

Al trazar las trayectorias de las geodésicas similares a la luz que pasan por un solo evento (es decir, al proyectarlas en el espacio de los observadores de Rindler ), obtenemos una imagen que se asemeja a una familia de semicírculos que pasan por un punto y son ortogonales al horizonte de Rindler. $t=0$

Métrica agrícola

El hecho de que, en las coordenadas de Rindler, las proyecciones de geodésicas similares a la luz en cualquier corte espacial sean simplemente semicírculos para los observadores de Rindler se puede verificar directamente a partir de la solución general dada anteriormente, pero hay una manera más fácil de verlo. En un espacio-tiempo estático, siempre se puede destacar un campo no retorcido del vector Killing similar al tiempo . En este caso, hay una familia definida de manera única de hipersuperficies espaciales (idénticas) - rebanadas ortogonales a las líneas de mundo correspondientes de observadores estáticos (que pueden no ser inerciales). Esto nos permite definir una nueva métrica en cualquiera de estas superficies que sea conforme a la métrica de corte inducida original y que tenga la propiedad de que las geodésicas de esta nueva métrica ( de una métrica riemanniana en una variedad riemanniana de 3) siguen exactamente las proyecciones de las geodésicas del espacio-tiempo parecidas a la luz en ese corte. Esta nueva métrica se denomina métrica de Fermat (por analogía con el principio de Fermat ), y en un espacio-tiempo estático con un sistema de coordenadas en el que el elemento lineal tiene la forma

ds^{2}=g_{{00}}\,dt^{2}+g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k},\quad 1\leqslant j,\; k\leqslant 3

toma forma cuando se corta $t=t_{0}$

d\rho ^{2}={\frac {g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k}}{-g_{{00}}}}

En las coordenadas de Rindler, una traducción temporal es un campo de muerte, por lo que la cuña de Rindler es un espacio-tiempo estático (lo cual no es sorprendente, ya que es parte del espacio-tiempo estático de Minkowski). Por lo tanto, se puede escribir la métrica de Fermat para los observadores de Rindler: $\parcial _{t}$

d\rho ^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{x^{2}}},\quad 0<x<\infty,\quad -\infty <y,\;z<\infty\;.

Pero esta expresión coincide con el conocido elemento lineal del espacio hiperbólico en las coordenadas del semiespacio superior . Tiene un significado cercano a las coordenadas del semiplano superior aún más conocidas para el plano hiperbólico , familiares para generaciones de estudiantes de análisis complejo en relación con mapeos conformes (y otros problemas), y muchos lectores expertos en matemáticas ya saben que las líneas geodésicas en el modelo de semiplano superior hay semicírculos (ortogonales al círculo en el infinito representado por el eje real). ${\mathbf{H}}^{3}$ ${\mathbf{H}}^{2}$ ${\mathbf{H}}^{2}$

Simetrías

Dado que las coordenadas de Rindler cubren parte del espacio de Minkowski, uno esperaría que también tuvieran 10 campos vectoriales de Killing linealmente independientes. Además, en coordenadas cartesianas se pueden escribir inmediatamente, respectivamente: un subgrupo de un parámetro de traducciones temporales y tres de tres parámetros: traducciones espaciales, rotaciones espaciales y aumentos de espacio-tiempo. Juntos, estos vectores generan el grupo de Poincaré (isócrono propio), el grupo de simetría espacial de Minkowski.

Sin embargo, también es útil escribir y resolver las ecuaciones de Killing directamente en coordenadas de Rindler. Entonces puedes obtener 4 campos de muerte, parecidos a los originales en coordenadas cartesianas:

\parcial _{t},\;\;\parcial _{y},\;\;\parcial _{z},\;\;-z\,\parcial _{y}+y\,\parcial _ {z}

(traducciones de tiempo, traducciones espaciales, ortogonales a la dirección de la aceleración y rotaciones espaciales en un plano ortogonal a la dirección de la aceleración) más seis campos más:

\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\parcial _{t}\pm \left(y\,\parcial _{x}-x\,\parcial _ {y}\derecho)\derecho)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\parcial _{t}\pm \left(z\,\parcial _{x}-x\,\parcial _ {z}\derecha)\derecha)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\parcial _{t}\pm \parcial _{x}\right)\;.

Observamos que estos generadores pueden descomponerse naturalmente en generadores de espacio de Minkowski en coordenadas cartesianas, de modo que existe una combinación de ellos correspondiente al generador de traslaciones temporales , aunque la cuña de Rindler obviamente no es invariante bajo tales traslaciones. La razón de esto es el carácter local de las soluciones de las ecuaciones de Killing, así como de cualquier ecuación diferencial sobre una variedad, cuando la existencia de soluciones locales no garantiza su existencia en el sentido global. Es decir, en condiciones adecuadas en los parámetros del grupo, los flujos de eliminación siempre se pueden definir en una vecindad pequeña adecuada , pero es posible que el flujo no esté bien definido globalmente . Este hecho no está directamente relacionado con la estructura lorentziana del espacio-tiempo, ya que las mismas dificultades surgen en el estudio de variedades uniformes arbitrarias . $\parcial _{T}$

Varias definiciones de distancia

Una de las muchas cosas instructivas que resultan del estudio de las coordenadas de Rindler es el hecho de que los observadores de Rindler pueden usar varias definiciones de distancia diferentes (pero igualmente razonables) .

La primera definición fue implicada tácitamente por nosotros anteriormente: la métrica riemanniana inducida en secciones espaciales da la definición de la distancia, que puede llamarse la distancia a lo largo de la regla , ya que su significado operativo es precisamente este. $t=t_{0}$

Desde el punto de vista de las medidas físicas estándar, metrológicamente es más correcto utilizar la distancia de radar entre líneas de mundo. Se calcula enviando un paquete de ondas a lo largo de una geodésica similar a la luz desde la línea de universo de un observador (evento ) hasta la línea de mundo del objeto, donde el paquete se refleja (evento ) y se devuelve al observador (evento ). La distancia del radar se encuentra entonces como la mitad del producto de la velocidad de la luz por el tiempo de ida y vuelta del paquete en el reloj del observador. $A$ $B$ $C$

(Afortunadamente, en el espacio de Minkowski podemos ignorar la posibilidad de múltiples geodésicas parecidas a la luz entre dos líneas espaciales, ¡pero en los modelos cosmológicos y otras aplicaciones este ya no es el caso! También tenga en cuenta que la "distancia" obtenida de esta manera es generalmente no simétrica con respecto a la reubicación del observador y el objeto!)

En particular, considere un par de observadores Rindler con coordenadas y , respectivamente. (Tenga en cuenta que el primero de ellos acelera un poco más que el segundo). Suponiendo en el elemento lineal de Rindler, obtenemos fácilmente la ecuación de la geodésica similar a la luz en la dirección de la aceleración: $x=x_{0},\;y=0,\;z=0$ $x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0$ $dy=dz=0$

t-t_{0}=\log(x/x_{0})\;.

Por lo tanto, la distancia de radar entre estos observadores viene dada por

x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0} }}+O\izquierda(h^{3}\derecha)\;.

Es algo menor que la "distancia de la regla", pero para puntos cercanos la diferencia será insignificante.

La tercera definición posible de distancia es la siguiente: el observador mide el ángulo subtendido por un disco de tamaño unitario colocado en una determinada línea universal. Esta distancia se denomina distancia angular o distancia del diámetro óptico . Debido a la naturaleza simple de las geodésicas similares a la luz en el espacio de Minkowski, esta distancia entre dos observadores Rindler orientados a lo largo de la aceleración se calcula fácilmente. De las figuras anteriores se puede ver que la distancia angular depende de lo siguiente: . Por tanto, si es positivo, el primer observador mide una distancia angular ligeramente superior a la distancia de la regla, que a su vez es ligeramente superior a la distancia del radar. $h$ $h+{\frac{h^{2}}{x_{0}}}+O\izquierda(h^{3}\derecha)$ $h$

Existen otras definiciones de distancia, pero cabe señalar que aunque los valores de estas "distancias" son diferentes, sin embargo, todas coinciden en que las distancias entre cada par de observadores Rindler se mantienen constantes en el tiempo . El hecho de que los observadores infinitamente cercanos sean mutuamente inmóviles se deriva del hecho señalado anteriormente: el tensor de expansión de la congruencia de las líneas del mundo de los observadores de Rindler es idénticamente igual a 0. Para distancias finitas, esta propiedad de "rigidez" también es válida. De hecho, esta es una propiedad muy importante, ya que en la física relativista se sabe desde hace mucho tiempo que es imposible acelerar la barra de manera absolutamente rígida , vea la paradoja de Bell (y, de manera similar, es imposible hacer girar el disco de manera absolutamente rígida , vea la paradoja de Ehrenfest ) - al menos sin aplicar tensiones no homogéneas. La forma más fácil de verificar esto es darse cuenta del hecho de que en la física newtoniana, si actúas sobre un cuerpo absolutamente rígido con alguna fuerza, todos sus elementos cambiarán inmediatamente el estado de movimiento. Esto obviamente contradice el principio relativista de la finitud de la tasa de transmisión de los efectos físicos.

Por lo tanto, si una barra es acelerada por alguna fuerza externa aplicada en cualquier punto de su longitud, todos sus elementos no pueden experimentar la misma aceleración a menos que la barra esté constantemente estirada o comprimida. En otras palabras, una barra acelerada estacionaria (con respecto a sí misma) debe contener esfuerzos no homogéneos. Además, en cualquier experimento mental con fuerzas variables en el tiempo aplicadas repentina o gradualmente a un objeto, uno no puede limitarse solo a la cinemática y evitar el problema de incluir en consideración el modelo del cuerpo mismo, es decir, la dinámica.

Volviendo a la cuestión del valor operativo de la distancia a lo largo de la regla, notamos que para una definición completamente clara, debe incluir algún modelo de la sustancia de la regla misma.

Véase también

La paradoja de Bell es un experimento mental paradójico que a menudo se estudia utilizando las coordenadas de Rindler.
Las coordenadas de Born son otras coordenadas importantes en el espacio de Minkowski que describen a los observadores en rotación.
La paradoja de Ehrenfest es otro experimento mental paradójico que a menudo se estudia utilizando las coordenadas de Born.
Congruencia (relatividad general)
campos del cuaderno
Fuentes sobre la relatividad general
Ecuación de Raychaudhuri
efecto desordenado

Enlaces

Enlaces generales:

Boothby, William M. Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría de Riemann . — New York: Academic Press, 1986. Consulte el Capítulo 4 para obtener una introducción a los campos vectoriales en variedades uniformes.

Frankel, Teodoro. Curvatura gravitatoria: una introducción a la teoría de Einstein . - San Francisco: WH Freeman, 1979. Véase el Capítulo 8 para una derivación de la métrica de Fermat.

Coordenadas de Rindler:

Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald. Gravedad (inglés) . - San Francisco: W. H. Freeman, 1973. Ver sección 6.6 .

Rindler, Wolfgang. Relatividad : Especial, General y Cosmológica . —Oxford: Oxford University Press, 2001.

Horizonte de Rindler:

Jacobson, Ted; y Parenti, Renaud. Entropía del horizonte // Encontrado . física : diario. - 2003. - vol. 33 . - P. 323-348 . impresión

Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; y Visser, Matt. Gravedad analógica . Reseñas vivas en relatividad . Consultado el 6 de mayo de 2006. Archivado desde el original el 22 de febrero de 2012. (indefinido)