Paridad de opciones de compra y venta

La paridad put y call es la relación entre el valor de las opciones put y call europeas , lo que significa que una cartera con una opción put corta y una opción call larga equivale a un forward con el mismo precio de ejercicio .

La razón para mantener la paridad en el valor de las opciones es el requisito de no arbitraje: si el precio del activo es superior al precio de ejercicio, se ejercerá la opción de compra, si es inferior, se ejercerá la opción de venta. Por lo tanto, una unidad del activo se comprará en cualquier caso al precio de ejercicio, al igual que cuando se ejerce un contrato a largo plazo.

La paridad requiere el cumplimiento de ciertas condiciones. En la práctica, los costos de transacción y los costos de financiamiento (apalancamiento) conducen a una desviación de la paridad, sin embargo, en mercados líquidos , la relación de precios de opciones es casi perfecta.

Condiciones de paridad

La paridad permite la replicación de la cartera y, por lo tanto, requiere supuestos mínimos, a saber, la existencia de un contrato a plazo correspondiente . En ausencia de contratos a plazo negociables, el contrato a plazo puede ser reemplazado (en realidad replicado) por una posición larga en el activo subyacente y financiarlo con una posición de efectivo corta o, por el contrario, por una posición corta en el activo subyacente y préstamos. el dinero recibido durante un período determinado. Así, en ambos casos, se crea una cartera de autofinanciamiento .

La replicación sugiere que se pueden realizar transacciones de derivados que requieren apalancamiento, y que la compra y venta incurrirá en costos de transacción , específicamente el diferencial entre oferta y demanda . Por lo tanto, la paridad solo se cumple en un mercado ideal con liquidez ilimitada. Sin embargo, los mercados del mundo real pueden ser lo suficientemente líquidos como para que los precios de las opciones sean casi perfectos. Por lo tanto, los mercados de divisas en las principales divisas o los mercados de los principales índices bursátiles en períodos que no son de crisis tienen suficiente liquidez.

Proporción

La paridad se puede expresar de varias maneras similares, por ejemplo:

CP=df\cdot(FK)

dónde:

$C$ — opción de compra actual,
$PAGS$ es el valor actual de la opción de venta,
$D$ — factor de descuento ,
$F$ — precio a plazo del activo,
$k$ - precio de ejercicio.

El precio al contado se define como . $S=df\cdot F$

El lado izquierdo de la relación corresponde a una cartera con una opción de compra larga y una opción de venta corta, y el lado derecho corresponde a un contrato a plazo largo. Para las opciones del lado izquierdo, se utilizan los valores del precio actual y se dan en los valores de los precios futuros, que vienen dados por el factor de descuento que convierte a valores actuales. $F$ $k$ $D$

Cuando se usa el precio en lugar del precio a plazo, la relación se convierte a la forma: $S$ $F$

CP=S-df\cdot K

La relación original también se puede formular como:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

dónde:

$Connecticut)$ es el costo de la opción de compra en el momento , $t$
$P(t)$ — el costo de una opción de venta con la misma fecha de vencimiento,
$S t)$ — precio al contado del activo subyacente,
$k$ - precio de ejercicio,
${\ estilo de visualización B (t, T)}$ — el valor actual de un bono de cupón cero de $1, que es esencialmente el factor de descuento para el precio de ejercicio.

Si se supone que la tasa de interés de un bono es constante, entonces: $r$

{\displaystyle B(t,T)=e^{-r(Tt)))

Al valorar opciones sobre acciones europeas con dividendos conocidos que se pagarán durante la vida de la opción, la relación se convierte a:

C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

donde D(t) representa el valor actual total de los dividendos por acción pagaderos durante la vida restante de las opciones. La relación también se puede expresar como:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)

Conclusión

Primero, suponiendo que no hay oportunidades de arbitraje , dos carteras que siempre tienen el mismo pago en el momento T deben tener el mismo valor en cualquier momento anterior. Para probar esto, suponga que en algún momento t antes de T una cartera era más barata que la otra. Entonces era posible comprar una cartera más barata y vender una más cara. En el momento T , la cartera total a cualquier valor del precio del activo subyacente tendrá un valor de cero (se compensarán todos los activos y pasivos). Por lo tanto, la ganancia que se recibirá en el momento t estará libre de riesgo, lo que es una violación del supuesto de no arbitraje.

Derivamos la relación de paridad creando dos carteras con pagos iguales y aplicando el principio de fijación de precios racional anterior.

Considere una opción de compra y venta sobre algunas acciones sin dividendos S con el mismo precio de ejercicio K y fecha de vencimiento T. Suponga también la existencia de un bono cupón cero con un valor nominal de $1 y una fecha de vencimiento T (el precio de mercado de este bono puede ser cualquiera, pero debe ser igual a $1 en la fecha T ).

Denotemos el precio al contado S en el momento t como S(t). Ahora construya una cartera de compra larga C y venta corta P con la misma fecha de vencimiento T y strike K. El PnL de esta cartera es S(T) - K. También construiremos una segunda cartera comprando una acción y tomando prestados bonos en cantidad k El PnL de la segunda cartera también es S(T) - K en el momento T , ya que las acciones compradas por S(t) valdrán S(T) y los bonos prestados valdrán K.

PnLs idénticos implican que ambas carteras deben tener el mismo precio al mismo tiempo , lo que se expresa en la siguiente relación entre los precios de diferentes instrumentos: $t$

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,

Por lo tanto, en ausencia de oportunidades de arbitraje, se cumple la relación anterior, conocida como paridad de compra y venta , mientras que para tres precios conocidos de una opción de compra y una opción de venta, un bono y un activo subyacente (en este caso, una acción ), se puede calcular el valor del cuarto instrumento.

Historia

En la práctica, la paridad de opciones comenzó a utilizarse ya en la Edad Media y fue formalmente descrita por varios autores a principios del siglo XX.

Michael Knoll , en The Ancient Roots of Modern Financial Innovation: The Early History of Regulatory Arbitrage , describe el importante papel que desempeñó la paridad en el desarrollo de las ejecuciones hipotecarias , que era un análogo de la hipoteca moderna en la Inglaterra medieval.

En 1904, un operador de arbitraje de opciones de Nueva York llamado Nelson publicó El ABC de las opciones y el arbitraje , que detallaba la paridad . Su libro fue redescubierto por Espen Gaarder Haug a principios de la década de 2000, quien lo mencionó en numerosas ocasiones en su libro Derivatives : Models on Models .

Henry Deutsch en 1910 también describió la paridad en su libro Arbitrage in Bullion , Coins, Bills, Stocks, Shares and Options ), pero menos detallado que Trader Nelson en 1904.

El profesor de matemáticas Vinzenz Bronzin también derivó la paridad de opciones en 1908 y la utilizó para desarrollar una serie de modelos matemáticos para las opciones. El trabajo del profesor Bronzin fue descubierto recientemente por los profesores Wolfgang Hafner ( alemán: Wolfgang Hafner ) y Heinz Zimmermann ( alemán: Heinz Zimmermann ).

La primera descripción de la paridad en la literatura académica moderna parece ser de Hans Stoll en The Journal of Finance [1] [2] .

Notas

↑ Stoll, Hans R. La relación entre los precios de las opciones de compra y venta // Journal of Finance : diario. - 1969. - Diciembre ( vol. 24 , n. 5 ). - Pág. 801-824 . -doi : 10.2307/ 2325677 .
↑ Citado por ejemplo en Derman, Emanuel. Las ilusiones de la replicación dinámica (neopr.) // Finanzas cuantitativas. - 2005. - T. 5: 4 , N° 4 . - S. 323-326 . -doi : 10.1080/ 14697680500305105 .