Patrones de fusión

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 11 de mayo de 2021; las comprobaciones requieren 4 ediciones .

Los patrones de mezcla se refieren a las tendencias sistemáticas de un tipo de nodo en una red para conectarse a otro tipo. Por ejemplo, los nodos pueden tender a conectarse con otros nodos que son muy similares o muy diferentes. Esta característica es bastante común en muchas redes sociales , aunque en ocasiones también se ve en redes no sociales. Los patrones de mezcla están estrechamente relacionados con la variedad ; sin embargo, a los efectos de este artículo, el término se utiliza para referirse a la mezcla clasificatoria o no clasificatoria, según factores del mundo real, topológicos o sociológicos.

Tipos de patrones de mezcla

Los patrones de mezcla son una característica de toda la red que indica la tendencia de los nodos a conectarse con otros nodos similares o diferentes. Por lo tanto, la mezcla se puede clasificar como clasificatoria o disclasta. La mezcla selectiva es la tendencia de los nodos a conectarse con nodos similares, mientras que la mezcla desordenada se refiere al caso opuesto, en el que se conectan nodos muy diferentes.

Las características específicas de los nodos involucrados en la formación de enlaces entre pares forman los patrones de mezcla de la red. Por ejemplo, es probable que una red de relaciones sexuales esté dominada por lazos hombre-mujer, mientras que una red de amistades puede estar dominada por lazos hombre-hombre y mujer-mujer. Examinar diferentes conjuntos de características de los nodos puede revelar comunidades u otras propiedades estructurales de la red. En general, existen dos tipos de métodos para utilizar estas propiedades. Uno de ellos se basa en cálculos analíticos utilizando funciones generadoras . El otro es numérico y se basa en simulaciones de Monte Carlo para la generación de gráficos. [una]

Al estudiar patrones de mezcla en redes , MEJ Newman comienza clasificando las características de los nodos en dos categorías. Si bien el número de características de los nodos del mundo real es prácticamente ilimitado, se pueden dividir en dos tipos: discretos y escalares/topológicos. Las siguientes secciones definen las diferencias entre estas categorías y proporcionan ejemplos para cada una. Para cada categoría, Newman introdujo y describió brevemente modelos de redes con mezcla selectiva.

Mezcla basada en características discretas

Las características discretas de un nodo son categóricas, nominales o enumerativas y, a menudo, cualitativas. Por ejemplo, la raza, el género y la orientación sexual son características discretas que se estudian con frecuencia.

Para medir la mezcla en una red basada en características discretas, Newman [1] define la cantidad como la proporción de bordes en una red que conecta nodos de tipo con tipo (ver Fig. 1) $e_{ij}$ $i$ $j$ [ ¿dónde? ] . En una red no dirigida, este número es simétrico respecto a sus índices , mientras que en una red dirigida puede ser asimétrico. Satisface las reglas de la suma: ${\displaystyle e_{ij}=e_{ji))$

\sum_{ij}{e_{ij}=1},\quad \sum_{j}{e_{ij}=a_{i}},\quad \sum_{i}{e_{ij }=b_{j}}~,

donde y son las fracciones de cada tipo final de la arista unida a los nodos de tipo . $ai}}$ $bi}}$ $i$

En gráficos no dirigidos, donde no hay distinción física entre los extremos de un enlace, es decir, los extremos de los bordes son todos del mismo tipo, . $a_{i}=b_{i}$

Entonces, el coeficiente de asortatividad es una medida de la fuerza de similitud o disimilitud entre dos nodos en un conjunto de características discretas, que se puede definir como:

r={\frac {\sum_{i}{e_{ii}}-\sum_{i}{a_{i}b_{i}}}{1-\sum_{i}{a_ {i}b_{i}}}}}

Con

r_{min}=-{\frac {\sum_{i}{a_{i}b_{i))}{1-\sum_{i}{a_{i}b_{i))} }~.

En esta fórmula , si no hay mezcla asortativa, ya que en este caso , y si la red es completamente asortativa. Si la red es completamente desordenada, es decir, cada enlace conecta dos nodos de diferentes tipos, entonces , que, en general, pertenece a la gama . Este rango de indica que una red totalmente desasortada generalmente está más cerca de una red de mezcla aleatoria que una red totalmente clasificada. Cuando hay varios tipos diferentes de nodos, la mezcla aleatoria en la mayoría de los casos fusionará nodos diferentes, lo que dará como resultado que dicha red parezca predominantemente desordenada. Por lo tanto, es natural que el valor de una red aleatoria esté más cerca del valor de una red totalmente desasortada que de una red totalmente clasificada. $r=0$ ${\displaystyle e_{ij}=a_{i}b_{j))$ ${\ estilo de visualización r = 1}$ $r=r_{min}$ ${\ estilo de visualización -1 \ leq r <0}$ $r_{min}$ $r=0$

El método de la función generadora se basa en la idea de calcular cada vez una función generadora adecuada para las distribuciones de interés y permite extraer datos relacionados con la estructura de la red diferenciándolos. Suponiendo que se conocen la distribución de grados para los nodos de tipo y el valor de la matriz (y, por lo tanto, los valores de y ). Del conjunto de gráficos con las características indicadas y colectivas (macroscópicas) de la red se obtienen. En general, las funciones generadoras de y su primer momento se dan como ${\displaystyle p_{k}^{(i)))$ $i$ $e_{ij}$ $ai}}$ $bi}}$ ${\displaystyle p_{k}^{(i)))$ $e_{ij}$ ${\displaystyle p_{k}^{(i)))$

G_{0}^{(i)}(x_{1},...,x_{n})=\sum_{k}p_{k}^{(i)}x^{k}

G_{1}^{(i)}={\frac {1}{z_{i))}{\frac {dG_{0}^{(i))){dx)){\Bigg | }_{x=1}~,

dónde:

x_{i}={\frac {\sum_{j}e_{ij}x_{j}}{\sum_{j}e_{ij}}}

– nodo de tipo ( en número);

i

{\ Displaystyle r_ {i}}

{\ Displaystyle z_ {i}}

es el grado medio de nodos de este tipo.

Las siguientes distribuciones son de particular interés.

La distribución del número total de nodos alcanzables al seguir un borde entrando en un nodo de tipo tiene una función generadora . De manera similar, la distribución del número de nodos accesibles desde un nodo de tipo elegido aleatoriamente tiene una función generadora . A partir de esto, se pueden obtener algunas características de la red. El número medio de nodos accesibles desde un tipo de nodo es $i$ $H_{1}^{(i)}(x)=xG_{1}^{(i)}[H_{1}^{(1)}(x),...,H_{1} ^{(n)}(x)]$ $i$ $H_{0}^{(i)}(x)=xG_{0}^{(i)}[H_{1}^{(1)}(x),...,H_{1} ^{(n)}(x)]$ ${\ Displaystyle s_ {yo}}$ $i$

s_{i}={\frac {dH_{0}^{(i)}}{dx}}{\Bigg |}_{x=1}=1+G_{0}^{(i) '}(1){\frac {\sum_{j}e_{ij}H_{1}^{(i)'}(1)}{\sum_{j}e_{ij}}}~.

Además, si es la probabilidad de que un nodo de tipo (seleccionado siguiendo un enlace elegido al azar en el gráfico) no pertenezca a un grupo gigante , entonces la fracción total de nodos que componen este grupo está dada por $tu_{{yo}}$ $i$ $S$

S=1-\sum_{i}{\frac {a_{i}}{z_{i}}}G_{0}^{(i)}(u_{1},...,u_ {n})~.

Los cálculos numéricos basados en el método de Monte Carlo parecen estar de acuerdo con los resultados analíticos obtenidos utilizando las fórmulas descritas anteriormente.

Combinación basada en características escalares o topológicas

Las características escalares de un nodo son características numéricas. Pueden ser variables ordinales continuas o discretas, como contar. La edad es probablemente el ejemplo más simple, aunque la inteligencia y los ingresos por productos básicos son otros posibles ejemplos obvios. Algunas características topológicas de la red también se pueden usar para estudiar la mezcla en función de las propiedades escalares. En particular, el grado de nodo suele ser una característica muy importante en la mezcla de patrones en las redes. [2] Las singularidades escalares topológicas son muy útiles porque, a diferencia de otros exponentes, siempre están disponibles. A veces se utilizan como un indicador aproximado de la "sociabilidad" real (sociabilidad, la tendencia a establecer vínculos sociales). [una]

Para medir la asortatividad de las variables escalares, de manera similar al caso discreto (ver arriba), se puede determinar el coeficiente de asortatividad. Se puede medir usando la correlación estándar de Pearson , como lo muestra Newman. [1] En la fig. 2[ ¿dónde? ] , por ejemplo, el cálculo del coeficiente de correlación de Pearson da r = 0,574. Esto indica una asociación bastante fuerte entre las edades de los esposos y las esposas en el momento del matrimonio.

Se puede calcular un factor alternativo midiendo la mezcla sobre las potencias de los vértices. Newman [1] derivó la siguiente expresión

{\displaystyle r={\frac {\sum_{jk}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}{\sigma_{q}^{2))))

para una red no direccional. En esta fórmula, si se refiere a la distribución de grados de un gráfico (es decir, la probabilidad de que un nodo tenga grado ), entonces . Se refiere al grado de exceso de un nodo, o el número de aristas distintas a la que se está estudiando actualmente. denota la potencia media en la red y denota la desviación estándar de la distribución . Para una red dirigida, la expresión equivalente es $paquete}$ $k$ $\textstyle q_{k}={\frac {(k+1)p_{k+1}}{z}}$ $z$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {q}}$ $q_{k}$

r={\frac {\sum _{jk}jk(e_{jk}-q_{j}^{in}q_{k}^{out})}{\sigma _{in}\sigma _ {fuera}}}~.

Esta correlación es positiva cuando los nodos son clasificados en grados y negativa cuando la red está desordenada. Así, esta medida da una idea general de los patrones de mezcla en la red. Un análisis más profundo se da en el artículo Assortativity .

El método de generación de funciones sigue siendo aplicable en este caso, pero las funciones que se van a encontrar rara vez se pueden determinar analíticamente. Por lo tanto, los cálculos numéricos parecen ser la única forma de obtener el resultado final. En este caso, se vuelve a utilizar el método Monte Carlo. Para el caso de redes con una distribución de grados de ley de potencias , , tiene una media divergente, excepto para el caso , que es raro. [3] En cambio, la distribución de ley de potencia truncada exponencialmente produce una distribución para un exceso de potencia de tipo . Los resultados para este caso se describen a continuación. ${\displaystyle p_{k}\sim k^{-\tau ))$ ${\ Displaystyle q_ {k}}$ ${\ estilo de visualización \ tau> 3}$ $\textstyle p_{k}={\frac {k^{-\tau }\mathrm {e} ^{-k/\kappa }}{\mathrm {Li}_{\tau}(\mathrm { e} ^{-1/\kappa })}}\ \mathrm {para} \k\geq 1$ ${\displaystyle q_{k}\sim (k+1)^{1-\tau }\mathrm {e} ^{-(k+1)/\kappa ))$

1) La posición en la transición de fase en la que el cúmulo gigante se mueve a valores más altos de , mientras que el valor disminuye $\kappa$ $r$ . En otras palabras, cuanto más variada sea la red, menor será el umbral de densidad de borde para la aparición de un cúmulo gigante.

2) El tamaño de un cúmulo gigante en el límite grande es más pequeño para un gráfico con mezcla selectiva que para los gráficos neutros y no selectivos $\kappa$ .

3) La mezcla selectiva en la red afecta la estabilidad de la red cuando se eliminan los nodos . Las redes clasificadas necesitan eliminar unas diez veces más nodos con grados altos para destruir un clúster gigante que en una red normal (por ordinaria nos referimos a una red neutral), mientras que lo contrario es cierto para las redes clasificadas, es decir, son más sensibles que los neutrales a la eliminación de nodos de alto grado.

Este resultado de la dependencia de la estabilidad de la red en la mezcla de nodos se puede explicar de la siguiente manera. Por definición, los nodos de alto grado en las redes de selección tienden a formar un grupo central entre ellos. Tal grupo de kernel proporciona estabilidad a la red al concentrar todos los nodos de destino aparentes juntos en una parte del gráfico. Eliminar estos nodos de alto grado sigue siendo una de las formas más eficientes de destruir la conectividad de la red, pero menos eficiente (en comparación con una red neutral) porque al eliminarlos todos de la misma parte del gráfico, no atacamos otras partes del mismo. grafico. Si estas otras partes son estables por sí solas, entonces el cúmulo gigante permanecerá incluso si los nodos de alto grado desaparecen. Por otro lado, las redes con mezcla desordenada son especialmente sensibles a la eliminación de nodos con grados altos, ya que estos nodos están dispersos unos de otros en la red, por lo que atacarlos es como atacar todas las partes de la red al mismo tiempo.

Ejemplos y Aplicaciones

Una aplicación típica de los patrones de mezcla es el estudio de la transmisión de enfermedades. Por ejemplo, muchos estudios utilizan la mezcla para estudiar la propagación del SIDA y otras enfermedades contagiosas. [4] [5] [6] Estos artículos encuentran una fuerte relación entre los patrones de mezcla y la tasa de propagación de la enfermedad. Los resultados también pueden ser útiles para modelar el crecimiento de redes del mundo real, como en [7] por ejemplo , o descubrir comunidades en redes.

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Newman, MEJ (2003-02-27). "Mezcla de patrones en redes". Examen físico E. 67 (2): 026126. arXiv : cond-mat/0209450 . Bibcode : 2003PhRvE..67b6126N . DOI : 10.1103/physreve.67.026126 . ISSN 1063-651X . PMID 12636767 .
↑ Newman, MEJ (2002-10-28). "Mezcla selectiva en redes". Cartas de revisión física . 89 (20): 208701. arXiv : cond-mat/0205405 . Bibcode : 2002PhRvL..89t8701N . DOI : 10.1103/physrevlett.89.208701 . ISSN 0031-9007 . PMID 12443515 .
↑ Albert, Reka; Barabasi, Albert-Lászlo (2002-01-30). “Mecánica estadística de redes complejas”. Reseñas de Física Moderna . 74 (1): 47-97. arXiv : cond-mat/0106096 . Código Bib : 2002RvMP...74...47A . DOI : 10.1103/revmodphys.74.47 . ISSN 0034-6861 .
↑ Aral, SO; Hughes, JP; Stoner, B; Whittington, W; Handfield, HH; Anderson, RM; Holmes, KK (1999). “Patrones de mezcla sexual en la propagación de infecciones gonocócicas y clamidias” . Revista americana de salud pública . Asociación Estadounidense de Salud Pública. 89 (6): 825-833. DOI : 10.2105/ajph.89.6.825 . ISSN 0090-0036 . PMC 1508665 . PMID 10358670 .
↑ Garnett, Geoffrey P.; HUGHES, James P.; Anderson, Roy M.; Stoner, Bradley P.; Aral, Sevgi O.; et al. (1996). “Patrones de mezcla sexual de pacientes que asisten a clínicas de enfermedades de transmisión sexual”. Enfermedades de transmisión sexual . Tecnologías Ovid (Wolters Kluwer Health). 23 (3): 248-257. DOI : 10.1097/00007435-199605000-00015 . ISSN 0148-5717 . IDPM 8724517 .
↑ Ford, Kathleen; Sohn, Woosung; Lepkowski, James (2002). "Adolescentes estadounidenses: patrones de mezcla sexual, parejas puente y concurrencia" . Enfermedades de transmisión sexual . Tecnologías Ovid (Wolters Kluwer Health). 29 (1): 13-19. DOI : 10.1097/00007435-200201000-00003 . ISSN 0148-5717 . PMID 11773873 .
↑ Catanzaro, Michele; Caldarelli, Guido; Pietronero, Luciano (2004). “Crecimiento de las redes sociales con mezcla selectiva”. Physica A: Mecánica Estadística y sus Aplicaciones . Elsevier BV. 338 (1-2): 119-124. Código Bib : 2004PhyA..338..119C . DOI : 10.1016/j.physa.2004.02.033 . ISSN 0378-4371 .