Surtido

Assortativeness , o mix assortative , es la preferencia de los nodos de la red para unirse a otros nodos que son de alguna manera similares a ellos. Aunque la medida específica de similitud puede variar, los teóricos de redes a menudo examinan la variedad en términos de grados de nodo . [1] Agregar esta característica a los modelos de red a menudo permite aproximaciones más precisas del comportamiento de muchas redes reales.

Las correlaciones entre nodos de grados similares a menudo se encuentran en los patrones de mezcla de muchas redes observadas. Por ejemplo, en las redes sociales , los nodos tienden a conectarse con otros nodos con valores de grado similares. Esta tendencia se conoce como mezcla selectiva o asortividad . Por otro lado, las redes tecnológicas y biológicas suelen exhibir una mezcla desordenada o desordenada , ya que los nodos con grados altos tienden a unirse a los nodos con grados bajos. [2]

Dimensión

La assortatividad a menudo se implementa en la práctica como una correlación entre dos nodos. Sin embargo, hay varias formas de evaluar tal correlación. Las dos medidas más significativas son el factor de surtido y la conectividad de vecinos . Estas medidas se analizan con más detalle a continuación.

Factor de selección

El coeficiente de assortativity es el coeficiente de correlación de Pearson del grado entre pares de nodos conectados. [2] Los valores positivos de r denotan correlaciones entre nodos de grados similares, y los valores negativos denotan relaciones entre nodos de diferentes grados. En general, r se encuentra entre −1 y 1. Cuando r = 1, se dice que la red tiene patrones de mezcla clasificados perfectos, cuando r = 0, la red no tiene clasificación y cuando r = −1, la red es completamente desorganizada. .

El coeficiente de surtido viene dado por la fórmula: , donde es la distribución de grados residuales (grado restante) . Fija el número de aristas que salen de un nodo, a excepción de una arista que conecta el par. Esta distribución se obtiene a partir de la distribución de potencia como . Finalmente, denota la distribución conjunta de los grados residuales de dos vértices. Este número es simétrico para un gráfico no dirigido y sigue las reglas de suma: y . ${\displaystyle r={\frac {\sum_{jk}{jk(e_{jk}-q_{j}q_{k))}}{\sigma_{q}^{2))))$ ${\ Displaystyle q_ {k}}$ $paquete}}$ ${\displaystyle q_{k}={\frac {(k+1)p_{k+1)){\sum_{j\geq 1}jp_{j))))$ ${\ Displaystyle e_ {jk}}$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {jk} {e_ {jk}} = 1 \,}$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {j} {e_ {jk}} = q_ {k} \,}$

En un gráfico dirigido, la capacidad de selección ( ) y la capacidad de selección ( ) miden la tendencia de los nodos a conectarse con otros nodos que tienen grados de entrada y salida similares, respectivamente. [4] [5] Ampliando esto, se pueden considerar cuatro tipos de surtido (ver [4] [6] ). Tomando las convenciones de dicho artículo, es posible definir cuatro métricas: , , y . Que sea uno de los pares de palabras in / out (por ejemplo, ). Sea este el número de aristas en la red. Supongamos que hemos numerado los bordes de la red como . Dada una arista con número , sea - el grado de la fuente (por ejemplo, la cola ) del vértice nodal de la arista, y - sea el grado del nodo objetivo (es decir , la cabeza ) de la -ésima arista. Denotamos los promedios con una barra, de modo que y son los promedios -grado de fuentes y -grado de objetivos, respectivamente; los promedios se toman a lo largo de los bordes de la red. Finalmente tenemos: $r({\text{en)),{\text{en)))$ $r({\text{fuera)),{\text{fuera)))$ $r({\text{en)),{\text{en)))$ $r({\text{adentro)),{\text{afuera)))$ $r({\text{fuera)),{\text{entrada)))$ $r({\text{fuera)),{\text{fuera)))$ ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta)}$ $(\alfa,\beta)=({\text{salida)),{\text{entrada)))$ $mi$ $1,\ldots,E$ $i$ $j_{i}^{\alfa}$ $\alfa$ ${\displaystyle k_{i}^{\beta))$ $\beta$ $i$ ${\ estilo de visualización {\ bar {j ^ {\ alfa}}}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {k^{\ beta}}}}$ $\alfa$ $\beta$

$r(\alpha ,\beta )={\frac {\sum _{i}(j_{i}^{\alpha }-{\bar {j^{\alpha ))})(k_{i }^{\beta }-{\bar {k^{\beta }}})}{{\sqrt {\sum _{i}(j_{i}^{\alpha }-{\bar {j^{ \alpha ))})^{2))}{\sqrt {\sum _{i}(k_{i}^{\beta }-{\bar {k^{\beta ))})^{2} }}}}.$

Conectividad vecina

Otra forma de evaluar la correlación de grados es estudiar las propiedades de , o el grado promedio de los vecinos de un nodo con grado k . [8] Formalmente, esto se define como: , donde es la probabilidad condicional de que una arista de un nodo con grado k apunte a un nodo con grado k' . Si esta función es creciente, entonces la red es selectiva, ya que muestra que los nodos de alto grado se conectan, en promedio, con nodos de alto grado. Por el contrario, si la función es decreciente, entonces la red es desordenada, ya que los nodos de mayor grado tienden a conectarse con nodos de menor grado. La función se puede dibujar en un gráfico (ver Figura 2) para mostrar el patrón general de asortatividad en la red. $\langle k_{nn}\rangle$ ${\displaystyle \langle k_{nn}\rangle =\sum _{k'}{k'P(k'|k)))$ $P(k'|k)$

Variedad local

Las redes de clasificación pueden tener nodos de clasificación y viceversa. Se requiere una medida de la variedad local [9] para detectar tales anomalías en las redes. La capacidad de selección local se define como la contribución de cada nodo a la capacidad de selección de la red. La capacidad de selección local en redes no direccionales se define como:

$\rho ={\frac {j\ \left(j+1\right)\left({\overline {k))-\ {\mu }_{q}\right)}{2M{\sigma }_{q}^{2}}}$

Donde es el grado de exceso de un nodo en particular, es el grado de exceso promedio de sus vecinos, y M es el número de enlaces en la red. $j$ $\overline{k}$

En consecuencia, la capacidad de selección local en redes dirigidas [5] es la contribución del nodo a la capacidad de selección dirigida de la red. La contribución de un nodo a la assortatividad de una red dirigida se define como: $r_{d}$ ${\displaystyle {\rho }_{d}=\ {\frac {{j_{fuera}}^{2}\left({\overline {k}}_{in}-\ {\mu }_{q }^{in}\right)+\ {j_{in}}^{2}\left({\overline {k}}_{out}-\ {\mu }_{q}^{out}\right )}{2\ M{\sigma }_{q}^{adentro}{\sigma }_{q}^{afuera))))$

Donde es el grado de salida del nodo en cuestión, es el grado de entrada, es el grado de entrada promedio de sus vecinos (a qué nodos tiene un borde el nodo }-ésimo) y es el grado de salida promedio de sus vecinos (de los cuales el nodo -th tiene un borde). , . $j_{fuera}$ ${\ Displaystyle j_ {en}}$ ${\overline {k}}_{en}$ $v$ ${\overline {k}}_{fuera}$ $v$ ${\sigma }_{q}^{en}\ \neq 0$ $\ {\ \sigma }_{q}^{fuera}\ \neq 0$

Al incluir los términos de escala y , nos aseguramos de que la ecuación de surtido local para la red dirigida satisfaga la condición . ${\ Displaystyle {\ sigma}_{q}^{in})$ ${\displaystyle {\ \sigma }_{q}^{fuera))$ $r_{d}=\ \sum _{i=1}^{N}({\rho }_{d))$

Además, dependiendo de si se considera un grado de entrada o de salida, es posible definir la capacidad de selección local y la capacidad de selección local como las medidas correspondientes de la capacidad de selección local en una red dirigida. [5]

Patrones de mezcla surtidos en redes reales

Se han explorado patrones surtidos para una variedad de redes del mundo real. Por ejemplo, en la figura 3 enumera valores r para varias redes. Tenga en cuenta que las redes sociales (las primeras cinco líneas) tienen una mezcla selectiva obvia. Por otro lado, todas las redes tecnológicas y biológicas (las seis filas del medio) resultan ser desordenadas. Se especula que esto se debe a que la mayoría de las redes tienden a evolucionar, si no están restringidas de otra manera, hacia un estado de máxima entropía, que generalmente es desordenado. [diez]

La tabla también enumera los valores r calculados analíticamente para dos modelos de red:

gráfico aleatorio de Erdős-Renyi ;
Modelo Barabashi-Albert .

En el modelo de Erdős-Rényi, dado que los bordes se distribuyen aleatoriamente, independientemente de los grados de vértice, el resultado es que r = 0 en el límite de tamaño de gráfico grande. El modelo Barabashi-Albert sin escala también conserva esta propiedad. Para el modelo de Barabashi-Albert, en el caso especial con m=1 (donde cada nuevo nodo se une a solo uno de los nodos existentes con una probabilidad proporcional al grado), obtenemos ambos en el límite de grande . [2] ${\ estilo de visualización r \ a 0}$ ${\ estilo de visualización (\ registro ^ {2} N)/N}$ $norte$

Aplicaciones

Las propiedades de surtido son útiles en el campo de la epidemiología porque ayudan a comprender la propagación de enfermedades o fármacos. Por ejemplo, la eliminación de una parte de los nodos de la red puede corresponder a la curación, vacunación o cuarentena de individuos o células. Debido a que la mezcla selectiva ocurre en las redes sociales, es más probable que las enfermedades que afectan a los individuos de alto grado se propaguen a otros nodos de alto grado. Por el contrario, en las redes celulares, que, al igual que las redes biológicas, es probable que sean desordenadas, las estrategias de vacunación que se dirigen específicamente a los vértices de alto grado pueden destruir rápidamente una red epidémica.

Dessortatividad estructural

La estructura subyacente de la red puede hacer que estas métricas indiquen una desorganización que no se corresponde con una mezcla de distribución o desorganización real. Se debe tener especial cuidado para evitar el desorden estructural.

Véase también

mezcla selectiva
Apego preferencial
homofilia
corte estructural
Coeficiente de club rico

Enlaces

↑ Newman, MEJ (27 de febrero de 2003). "Mezcla de patrones en redes". Examen físico E. Sociedad Americana de Física (APS). 67 (2): 026126. arXiv : cond-mat/0209450 . Bibcode : 2003PhRvE..67b6126N . DOI : 10.1103/physreve.67.026126 . ISSN 1063-651X .
↑ 1 2 3 4 Newman, MEJ (28 de octubre de 2002). "Mezcla selectiva en redes". Cartas de revisión física . Sociedad Americana de Física (APS). 89 (20): 208701. arXiv : cond-mat/0205405 . Bibcode : 2002PhRvL..89t8701N . DOI : 10.1103/physrevlett.89.208701 . ISSN 0031-9007 . PMID 12443515 .
↑ Xulvi-Brunet, R.; Sokolov, IM (2005). “Cambio de correlaciones en redes: assortativity y dissortativity” . Acta Physica Polonica B. 36 (5): 1431. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2021 . Consultado el 09-05-2021 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ 1 2 Braha, D.; Bar-Yam, Y. (2007). "La mecánica estadística del desarrollo de productos complejos: resultados empíricos y analíticos" Archivado el 14 de febrero de 2021 en Wayback Machine . ciencia de la gestión. 53(7): 1127-1145.
↑ 1 2 3 Piraveenan, M.; Prokopenko, M.; Zomaya, AY (2008). “Mezcla selectiva en redes biológicas dirigidas”. Transacciones IEEE/ACM sobre biología computacional y bioinformática . 9 (1): 66-78. DOI : 10.1109/TCBB.2010.80 . PMID 20733240 .
↑ Fomentar, Jacob; David V. Foster; Peter Grassberger; Maya Paczuski (junio de 2010). “Dirección de borde y estructura de redes” . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 107 (24): 10815-20. arXiv : 0908.4288 . Código Bib : 2010PNAS..10710815F . DOI : 10.1073/pnas.0912671107 . PMC2890716 ._ _ PMID20505119 ._ _
↑ Lee, Sang Hoon; Kim, Pan-Jun; Jeong, Hawoong (4 de enero de 2006). “Propiedades estadísticas de las redes muestreadas” . Examen físico E. Sociedad Americana de Física (APS). 73 (1): 016102. arXiv : cond-mat/0505232 . DOI : 10.1103/physreve.73.016102 . ISSN 1539-3755 . Archivado desde el original el 21 de septiembre de 2017 . Consultado el 09-05-2021 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Pastor-Satorras, Romualdo; Vázquez, Alexei; Vespignani, Alessandro (2001). “Propiedades Dinámicas y de Correlación de Internet”. Cartas de revisión física . Sociedad Americana de Física (APS). 87 (25): 258701. arXiv : cond-mat/0105161 . Bibcode : 2001PhRvL..87y8701P . DOI : 10.1103/physrevlett.87.258701 . ISSN 0031-9007 . PMID 11736611 .
↑ Piraveenan, M.; Prokopenko, M.; Zomaya, AY (2008). “Asortividad local en redes libres de escala”. EPL (Cartas de Eurofísica) . 84 (2): 28002. Bibcode : 2008EL.....8428002P . DOI : 10.1209/0295-5075/84/28002 .
↑ Johnson, Samuel; Torres, Joaquín J.; Marro, J.; Muñoz, Miguel A. (11 de marzo de 2010). “Origen entrópico de la dissortatividad en redes complejas”. Cartas de revisión física . Sociedad Americana de Física (APS). 104 (10): 108702. arXiv : 1002.3286 . Código Bib : 2010PhRvL.104j8702J . DOI : 10.1103/physrevlett.104.108702 . ISSN 0031-9007 . PMID 20366458 .