Establecer densidad

La densidad de un conjunto ( medible ) sobre la recta real , en un punto es el límite (si existe) de la relación $mi$ $\matemáticas {R}$ $X$

\lim _{|D|\to 0}|E\cap D|/|D|

donde es un segmento arbitrario que contiene y es su medida de Lebesgue . Si, en lugar de una medida, consideramos una medida externa , obtenemos la definición de la densidad externa en un punto . $D$ $X$ $|D|$ $mi$ $X$

La densidad en el espacio dimensional se introduce de manera similar. En este caso, las longitudes de los segmentos se reemplazan por los volúmenes de los correspondientes paralelepípedos bidimensionales con caras paralelas a los planos coordenados, y el límite se considera cuando el diámetro del paralelepípedo tiende a cero. $norte$ $norte$

Para conjuntos de , resulta útil la noción de densidad derecha ( izquierda ) en un punto , que se obtiene de la definición general si consideramos sólo segmentos con extremo izquierdo (derecho) . $\matemáticas {R}$ $mi$ $X$ $D$ $X$

Definiciones relacionadas

El punto de densidad es el punto donde la densidad es igual a uno.
- Casi todos los puntos de un conjunto medible son sus puntos de densidad.
El punto de rarefacción es el punto donde la densidad es cero.

Véase también

Teorema del punto de densidad

Literatura

Natanson IP Teoría de funciones de variable real. - M. , 1974.