Medida exterior

Una medida externa es una de las generalizaciones de los conceptos de longitud, área y volumen; es una función de valor real definida en todos los subconjuntos del espacio que satisface varias especificaciones adicionales.

Historia

La teoría general de la medida externa fue desarrollada por Constantine Carathéodory para proporcionar una base para la teoría de conjuntos medibles y medidas contables aditivas. El trabajo de Carathéodory sobre la medida externa encontró muchas aplicaciones en la teoría de conjuntos medibles (por ejemplo, la medida externa se usa en la demostración del teorema fundamental de extensión de Carathéodory), y Hausdorff la usó para definir una invariante métrica que generaliza la dimensión, ahora denominada dimensión de Hausdorff .

Caso de la recta numérica

Para un subconjunto arbitrario de la línea real, uno puede encontrar arbitrariamente muchos sistemas diferentes que consisten en un número finito o numerable de intervalos, cuya unión contiene el conjunto . Llamamos a tales sistemas revestimientos. Dado que la suma de las longitudes de los intervalos que componen cualquier cobertura no es negativa, está acotada por debajo y, por lo tanto, el conjunto de longitudes de todas las coberturas tiene una cota inferior exacta. Esta cara, dependiendo únicamente del conjunto , se llama medida exterior : $mi$ $mi$ $mi$

{\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\))

Opciones para designar una medida externa:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Formal definición

Sea un conjunto fijo . Una medida exterior es una función tal que $X$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty]$

$\mu ^{*}(\varnada)=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\ dos puntos \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty}\mu ^{*}(A_{n})$ .

Sea una medida definida sobre el anillo . Una medida externa generada por una medida es una función tal que $\mu$ $k$ $\mu$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty]$

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \)),\ ;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ si existe al menos una de esas cubiertas del conjunto ; $A$
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ de lo contrario.

teorema _ La medida exterior generada por la medida es la medida exterior. ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ $\mu$

${\ estilo de visualización \ vartriangleright}$ Verifiquemos el primer punto de la definición de la medida exterior. . definido en . ${\ estilo de visualización \ mu \ geqslant 0 \ Rightarrow \ mu ^{*} \ geqslant 0}$ ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ $2^{{X}}$

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty}\mu (\varnothing)=0\Rightarrow \mu ^{* }(\varnada)=0

Veamos el segundo punto de la definición. deja _ Si hay tal conjunto de la cubierta que , entonces se cumple la desigualdad. Sea además todos los conjuntos de la cobertura tales que . Tome un arbitrario , por definición del límite inferior exacto ${\displaystyle A\subconjunto \bigcup _{n=1}^{\infty}A_{n))$ $Un}}$ $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty}\mu (B_{n_{k)))-{\frac {\ varepsilon }{2^{n))))

Después

\bigcup _{n=1}^{\infty}\bigcup _{k=1}^{\infty}B_{n_{k))\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

Como es una unión contable de elementos del anillo , entonces $\bigcup _{n=1}^{\infty}\bigcup _{k=1}^{\infty}B_{n_{k))$ $k$

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\mu (B_{n_{k)) )<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n))}{\ bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

{\ estilo de visualización \ vartriangleleft}

Propiedades de medida exterior

Propiedades de medidas externas : ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k= 1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

${\ estilo de visualización \ vartriangleright}$ En realidad,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnada)+\mu ^{*}(\varnada)+\cdots =\sum_ {k=1}^{n}\mu^{*}(A_{k})

{\ estilo de visualización \ vartriangleleft}

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ ( monotonicidad ).

${\ estilo de visualización \ vartriangleright}$ Se sigue de la propiedad anterior en . $n=1$ ${\ estilo de visualización \ vartriangleleft}$

𝜇*-conjuntos medibles

Sea alguna medida externa definida sobre subconjuntos del conjunto . Luego se establece tal que la igualdad se cumple para todos ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ $X$ $E\subconjunto X$ $A\subconjunto X$

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap {\overline {E)))

se llaman medibles. -Los conjuntos medibles forman un anillo σ, y una función definida en los elementos de este anillo σ es una medida generada por . Si la medida exterior es generada por alguna medida definida en el anillo , entonces será una extensión de la medida (donde está la medida definida arriba, generada por ). ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ $\mu$ $k$ ${\overline {\mu ))$ $\mu$ ${\overline {\mu ))$ ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$

Si está definido por alguna medida externa generada por la medida , entonces si y sólo si la propia medida externa es generada por alguna medida . ${\overline {\mu}}^{*}$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ ${\ estilo de visualización \ mu ^{*}}$ $\mu$

Véase también

Literatura

Dorogovtsev A. Ya. Elementos de la teoría general de la medida e integral. Kyiv, 1989
Khalmosh P.R. teoría de la medida. M.: Izd-vo inostr. iluminado, 1953