Área de superficie

El área superficial escaracterística numérica aditiva de la superficie .

Definiciones

En todas las definiciones de área, primero se describe la clase de superficies para las que se define. La forma más sencilla es determinar el área de superficies poliédricas : como la suma de las áreas de sus caras planas. Sin embargo, la clase de superficies poliédricas no es lo suficientemente amplia para la mayoría de las aplicaciones.

La mayoría de las veces, el área de la superficie se define para la clase de superficies lisas por tramos con un borde liso por tramos. Esto se puede hacer utilizando la siguiente construcción: la superficie se divide en partes con límites uniformes por partes: para cada parte, se selecciona un plano y la parte en consideración se proyecta ortogonalmente sobre él; se resume el área de las proyecciones planas obtenidas. El área de la superficie en sí se define como el límite superior exacto de tales sumas.

Si una superficie en el espacio euclidiano está dada por una función paramétricamente suave por partes , donde los parámetros cambian en una región del plano , entonces el área se puede expresar mediante una integral doble $c ^ 1$ $r(u,v)$ $tu$ $v$ $D$ $(u,v)$ $S$

S=\iint \limits _{D}|r_{u}\times r_{v}|\cdot du\cdot dv,

donde denota el producto vectorial, a y son derivadas parciales con respecto a y . $\veces$ $r_{u}$ $r_{v}$ $tu$ $v$

Esta integral se puede reescribir de la siguiente manera:

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det g_{{ij}}}}dudv

donde , y también $g_{{11}}=|r_{u}|^{2}$ $g_{{12}}=\langle r_{u},r_{v}\rangle$ $g_{{22}}=|r_{v}|^{2}$

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det(J_{r}^{\mathrm {T} }\cdot J_{r)))))dudv

donde denota la matriz de Jacobi del mapeo . $J_{r}$ ${\ estilo de visualización (u, v) \ mapas para r (u, v)}$

Comentarios

En particular, si la superficie es la gráfica de una función suave sobre un dominio en el plano , entonces $c ^ 1$ $z=f(x,y)$ $D$ $(x,y)$ $S=\iint \limits _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\parcial f}{\parcial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\parcial f}{\parcial y}}\right)^{2}}}dxdy$
- De estas fórmulas se derivan fórmulas conocidas para el área de una esfera y sus partes, se fundamentan métodos para calcular el área de superficies de revolución , etc.
Para superficies lisas bidimensionales por partes en variedades de Riemann , esta fórmula sirve como una definición del área, mientras que el papel de y lo desempeñan los componentes del tensor métrico de la superficie misma. $g_{{11}}$ $g_{12}=g_{21}$ $g_{{22}}$

Un intento de introducir el concepto de área de superficies curvas como el límite de las áreas de superficies poliédricas inscritas (al igual que la longitud de una curva se define como el límite de líneas poligonales inscritas) encuentra dificultad. Incluso para una superficie curva muy simple, el área de poliedros inscritos en ella con caras progresivamente más pequeñas puede tener diferentes límites según la elección de la secuencia de poliedros. Esto se demuestra claramente con un ejemplo muy conocido, la llamada bota de Schwartz , en la que se construyen secuencias de poliedros inscritos con diferentes límites de área para la superficie lateral de un cilindro circular recto.
- Sin embargo, el área de una superficie convexa cerrada es igual al límite superior mínimo de las áreas de las superficies poliédricas convexas inscritas en ella.

Propiedades

El área de la superficie incrustada coincide con la medida de Hausdorff bidimensional de su imagen.
El área de una superficie incrustada en el espacio euclidiano tridimensional coincide con la capacidad de Minkowski de codimensión 1 de su imagen.

Véase también

Literatura

Dubrovsky V. N. En busca de determinar el área de superficie Copia de archivo del 27 de junio de 2017 en Wayback Machine // Kvant . - 1978. - Nº 5. - S. 31-34.

Dubrovsky VN Área de superficie según Minkowski Copia de archivo del 15 de febrero de 2017 en Wayback Machine // Kvant . - 1979. - Nº 4. - S. 33-35.

Merzon G. A., Yashchenko I. V. Longitud, área, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .