Superficies de curvatura media constante

Superficies de curvatura promedio constante : una clase de superficies que modelan las superficies de las películas de jabón que separan áreas con una diferencia de presión fija. En el caso particular, si la presión es igual en ambos lados, el modelo determina las superficies mínimas .

Definidas como superficies lisas con una curvatura media constante .

Historia de la investigación

En 1841, Charles-Eugène Delaunay demostró que las únicas superficies de revolución con curvatura media constante eran las obtenidas al girar las curvas obtenidas al rodar cónicas. Estos son plano, cilindro, esfera, catenoide , onduloide y nodoide . [una]

En 1853, J. Gelle demostró que si una superficie estrellada compacta en B tiene una curvatura media constante, entonces es una esfera estándar. [2] Posteriormente, Aleksandr Danilovich Aleksandrov demostró que una superficie incrustada compacta con curvatura media constante debe ser una esfera. [3] $S$ $\mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización H \ neq 0}$
- Basado en esto, Heinz Hopf sugirió en 1956 que cualquier hipersuperficie orientable compacta sumergida de curvatura media constante β debe ser una esfera redonda. $\mathbb{R} ^{n}$
- Esta conjetura fue refutada en 1982 por Wu-Yi Xiang usando un contraejemplo en . $\R^4$
- En 1984, Henry C. Wente construyó el llamado toro de Wente , una inmersión en un toro de curvatura media constante. [cuatro] $\mathbb{R} ^{3}$

Hay métodos para construir un conjunto de ejemplos. [5] En particular, los métodos de pegado permiten combinar arbitrariamente superficies de curvatura media constante. [6] [7] [8]

Mix mostró que no hay superficies anidadas de curvatura media constante con un extremo en . [9] Korevaar, Kusner y Solomon demostraron que los extremos de una superficie incrustada completa son onduloides asintóticos . [diez] $\mathbb{R} ^{3}$

Aplicaciones

Además de las películas de jabón, las superficies de curvatura media constante aparecen como interfaces gas-líquido en una superficie superhidrofóbica. [once]

En arquitectura, las superficies de curvatura media constante se utilizan en estructuras sustentadas por aire , como cúpulas y cerramientos inflables, y como fuente de formas orgánicas fluidas. [12]

Notas

↑ C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl.6 (1841), 309-320.
↑ JH Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl.18 (1853), 163-167
↑ AD Alexandrov, Teorema de unicidad para superficies grandes, V. Vestnik, Universidad de Leningrado. 13, 19 (1958), 5-8, Amer. Matemáticas. soc. Trans. (Serie 2) 21, 412-416.
↑ Wente, Henry C. (1986), Contraejemplo de una conjetura de H. Hopf. , Pacific Journal of Mathematics Vol. 121: 193–243, doi : 10.2140/pjm.1986.121.193 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702809 > Archivado el 10 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B. Kusner, John M. Sullivan . Superficies coplanares de curvatura media constante. Com. Anal. Geom. 15:5 (2008) págs. 985-1023. ArXiv matemáticas.DG/0509210.
↑ N. Kapouleas. Superficies completas de curvatura media constante en tres espacios euclidianos . Archivado el 29 de enero de 2022 en Wayback Machine , Ann. de. Matemáticas. (2) 131 (1990), 239-330
↑ Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, Pegado y módulos para problemas geométricos no compactos. 1996 arXiv: dg-ga/9601008
↑ I. Sterling y H.C. Wente, Existencia y clasificación de multiburbujas de curvatura media constante de tipo finito e infinito . Archivado el 22 de mayo de 2019 en Wayback Machine , Universidad de Indiana. Matemáticas. J. 42 (1993), núm. 4, 1239-1266.
↑ Meeks WH, La topología y la geometría de las superficies incrustadas de curvatura media constante , J. Diff. Geom. 27 (1988) 539-552.
↑ Korevaar N., Kusner R., Solomon B., La estructura de superficies incrustadas completas con curvatura media constante, J. Diff. Geom. 30 (1989) 465-503.
↑ EJ Lobaton, T. R. Salamon. Cálculo de superficies de curvatura media constante: Aplicación a la interfase gas-líquido de un fluido presurizado sobre una superficie superhidrofóbica. Revista de ciencia de interfaces y coloides. Volumen 314, Número 1, 1 de octubre de 2007, páginas 184-198
↑ Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Geometría de estructuras multicapa de forma libre para arquitectura. ACM Transactions on Graphics — Actas de ACM SIGGRAPH 2007 Volumen 26 Número 3, julio de 2007 Artículo No. sesenta y cinco