Las superficies de Dolgachev son ciertas superficies elípticas simplemente conectadas introducidas por Dolgachev [1] . Se pueden usar para obtener ejemplos de una familia infinita de 4 variedades compactas homeomorfas simplemente conectadas, ninguna de las cuales es difeomorfa.
La ampliación X 0 del plano proyectivo en 9 puntos se puede realizar como un haz elíptico en el que todas las fibras son irreductibles. La superficie de Dolgachev X q se obtiene aplicando transformaciones logarítmicas de órdenes 2 y q a dos capas lisas para alguna q ≥ 3.
Las superficies de Dolgachev están simplemente conectadas y la forma bilineal en el segundo grupo de cohomología tiene una firma impar (1, 9) (así que esta es una red unimodular I 1,9 ). El género geométrico p g de la superficie es 0, y la dimensión Kodaira es 1.
Donaldson [2] encontró los primeros ejemplos de 4-variedades homeomorfas pero no difeomorfas X 0 y X 3 . Más generalmente, las superficies X q y X r son siempre homeomorfas pero no difeomorfas a menos que q sea igual a r .
Akbulut [3] mostró que la superficie de Dolgachev X 3 tiene una descomposición de mango sin 1 y 3 mangos.