Descomposición en asas

La descomposición del mango de m - colectores M  es una filtración

de donde se obtiene cada uno mediante la unión de asas . La descomposición de manejadores para una variedad corresponde a la descomposición CW en el espacio topológico - la descomposición de manejadores nos permite utilizar métodos para estudiar complejos CW adaptados al mundo de las variedades suaves . Por lo tanto, el i -handle es un análogo suave de la i- cell. Las descomposiciones de manijas de variedades surgen de la teoría de Morse . La modificación de las estructuras de los mangos está estrechamente relacionada con la teoría de Cerf .

Antecedentes

Considere una partición CW estándar de una esfera n con una celda cero y una celda n . Desde el punto de vista de las variedades suaves, es una partición degenerada de la esfera, ya que no hay una forma natural de ver una estructura suave usando esta partición, en particular, la estructura suave cerca de la celda 0 depende del comportamiento de la mapeo característico en la vecindad de .

El problema con las descomposiciones de CW es que las asignaciones de celdas que se pueden unir no viven en un mundo de asignaciones suaves entre múltiples. La idea original para corregir este defecto es el teorema de la vecindad tubular . Dado un punto p en una variedad M , su vecindad tubular cerrada es difeomorfa . Así, obtenemos una partición de M en una unión disjunta y , pegados a lo largo de su límite común. La pregunta principal aquí es si este mapeo de pegado es un difeomorfismo. Tome una curva suave incrustada en , su vecindad tubular es difeomorfa . Esto nos permite escribir como la unión de tres variedades pegadas a lo largo de partes de sus límites:

  1. el complemento de la vecindad tubular abierta de la curva en .

Tenga en cuenta que todas las asignaciones pegadas son suaves, en particular, cuando pegamos con , la relación de equivalencia se forma incrustando en , que es suave por el teorema de vecindad tubular .

Las expansiones de manijas fueron introducidas por Steven Smale [1] . En la formulación original , el proceso de adjuntar un identificador j a una variedad m M supone que la incrustación se lleva a cabo en . deja _ Una variedad (en otras palabras, una unión de M con un asa j a lo largo de f ) corresponde a una unión disjunta de y con una identificación con su imagen en , es decir:

donde la relación de equivalencia se da como para todos .

Se dice que una variedad N se obtiene a partir de M añadiendo j -asas si la unión de M con un número finito de j -asas es difeomorfa a N. Luego, la descomposición en asas de una variedad se define como una adición gradual al conjunto vacío de asas, de modo que al final obtenemos . Por lo tanto, una variedad tiene una descomposición de manijas con 0 manijas solo si es difeomorfa a una unión disjunta de bolas. Una variedad conectada que contiene identificadores de solo dos tipos (es decir, identificadores 0 y identificadores j para algunos j fijos ) se denomina cuerpo con identificadores .

Terminología

Tomemos una unión M con un j -handle :

llamada esfera adherente (o esfera plantar ) [2] .

a veces llamado el encuadre de la esfera de encolado porque da una trivialización de su paquete normal .

es el cinturón del mango en .

La variedad obtenida al adjuntar copias de -asas al disco es un (m, k) -cuerpo con asas de género g .

Representaciones de cobordismos

La representación del mango del cobordismo consiste en el cobordismo W donde y la filtración

donde y son variedades -dimensionales, son -dimensionales, difeomórficas y se obtienen sumando i -handles. Dado que las descomposiciones de manijas para variedades son análogas a las descomposiciones de celdas de espacios topológicos, las representaciones de manijas del cobordismo para variedades con límites son análogas a las descomposiciones de celdas relativas de pares de espacios.

Desde el punto de vista de la teoría Morse

Si se da una función de Morse en una variedad compacta M sin límite tal que los puntos críticos de la función satisfagan y

,

entonces para todo j es difeomorfo , donde es el índice del punto crítico . El índice corresponde a la dimensión del subespacio máximo del espacio tangente , donde la arpillera es definida negativa.

Si los índices satisfacen la desigualdad , entonces obtenemos una descomposición en asas de la variedad M. Además, cualquier variedad tiene una función Morse de este tipo, por lo que tienen descomposiciones de control. De manera similar, dado un cobordismo c y una función que es una función de Morse en el interior, es constante en el límite y satisface la propiedad de aumento del índice, hay una representación W del controlador de cobordismo generado .

Si  es una función de Morse , también es una función de Morse. La representación correspondiente de descomposición de manijas/cobordismo se denomina descomposición dual .

Algunos teoremas y observaciones principales

Véase también

Notas

  1. Smale, 1962 , pág. 387–399.
  2. Scorpan, 2016 , pág. 46.

Literatura

Literatura principal