Inflar

Blow-up [1] [2] [3] (llamado proceso sigma de Tyurin [4] y transformación monoidal de Manin [5] ) es una operación en geometría algebraica . En el caso más simple, a grandes rasgos, consiste en sustituir un punto por el conjunto de todas las rectas que lo atraviesan.

Inflar un avión en un punto

Sea el plano proyectivo y sea el plano proyectivo dual cuyos puntos corresponden a las rectas del plano original. Los puntos del producto cartesiano son pares , donde es un punto del plano, a es una recta en el mismo plano. La condición de que un punto se encuentra en una línea se describe en términos de coordenadas como la desaparición de una forma lineal en un vector, de modo que el conjunto es una variedad algebraica . Además, dado que el producto de los espacios proyectivos se incrusta en un espacio proyectivo de dimensión suficientemente grande mediante la incrustación de Segre , también es una variedad proyectiva. Se llama variedad de incidencia . Vamos a denotarlo como . Fijamos un punto , consideramos la variedad y su intersección con la variedad de incidencia. Considere la restricción de proyección en esta intersección. Si el punto es diferente del punto , entonces la capa de proyección por encima consiste en un solo punto , donde está la línea que pasa por los puntos y . Por otro lado, la capa sobre el punto en sí consta de todas las líneas que lo atraviesan. La variedad se denota y se llama la explosión del avión en el punto . Por lo tanto, esta ampliación se diferencia de un plano en que uno de los puntos en él se reemplaza por una línea recta. En el caso de que el plano proyectivo se defina sobre el campo de los números complejos , la línea proyectiva es una esfera de Riemann , lo que explica el nombre. La línea pegada se llama la curva excepcional y se denota tradicionalmente . Se diferencia de las rectas ordinarias en que no admite deformaciones analíticas. ${\ Displaystyle \ mathrm {P} ^{2))$ ${\displaystyle {\check {\mathrm {P} ^{2))))$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2))))$ ${\ estilo de visualización (x, \ ell)}$ $X$ $\ana$ ${\ estilo de visualización x \ en \ ell}$ $\left\{(x,\ell )\colon x\in \ell \right\}\subset \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2} }}$ $yo$ ${\displaystyle x_{0}\en \mathrm {P} ^{2))$ $F_{x_{0}}=\{(x,\ell )\dos puntos x_{0}\en \ell \}$ $F_{x_{0}}\cap I$ $\mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2}}}\to \mathrm {P} ^{2}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {P} ^{2))$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización (x, \ ell)}$ $\ana$ $X$ $x_{0}$ $x_{0}$ $F_{x_{0}}\cap I$ $\mathrm {Bl} _{x_{0}}(\mathrm {P} ^{2})$ ${\ Displaystyle \ mathrm {P} ^{2))$ $x_{0}$ $E_{x_{0))$

Sea una curva algebraica que pasa por el punto . La imagen inversa de teoría de conjuntos bajo proyección contiene una curva excepcional y se denomina preimagen completa . Por lo tanto, la preimagen completa no es irreductible , incluso si la curva original fuera irreductible. Sin embargo, si tomamos solo esos pares como la imagen inversa de un punto , donde es la tangente a una de las ramas de la curva en ese punto, entonces la imagen inversa de la curva irreducible será irreducible. Tal preimagen se llama preimagen propia . Si es un punto suave de la curva, entonces la imagen inversa adecuada será isomorfa a la curva misma. Si la curva tuviera una singularidad en este punto, entonces su propia preimagen será diferente. Por ejemplo, la imagen propia de un cubo cartesiano cuando se amplía en el origen es una curva racional suave. $C$ $x_{0}$ $C$ $\mathrm {Bl} _{x_{0}}\to \mathrm {P} ^{2}$ $E_{x_{0))$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización (x_ {0}, \ ell)}$ $\ana$ $x_{0}$

Desinflando curvas

Tenga en cuenta que la construcción descrita anteriormente podría realizarse dentro de un mapa afín . Por tanto, se puede hablar de ampliaciones de cualquier superficie algebraica (o, más generalmente, de una superficie compleja ). Topológicamente, la inflación se organiza de la siguiente manera: se recorta un pequeño vecindario en el punto, que parece una bola de cuatro dimensiones, y se pega una esfera de dos dimensiones a su límite, una esfera tridimensional, utilizando el mapeo de Hopf . Explotar una superficie real consiste en recortar un pequeño disco y pegarlo en su límite, un círculo, una cinta de Möbius . $x_{0}$

Tenga en cuenta que la explosión no es un mapa real, sino solo un mapa racional : la explosión no está bien definida en el punto de explosión. En este caso, la operación inversa, llamada deflación o contracción , está bien definida. El geómetra ruso A. I. Bondal lo formuló de la siguiente manera: “Por definición, la inflación es una operación opuesta a la inflación ” .

No todas las curvas racionales de una superficie pueden desaparecer. Por ejemplo, en el plano, ninguna curva admite explosión, ya que un pequeño cambio en los coeficientes de su ecuación da una deformación de la curva, que las curvas excepcionales de explosión no pueden tener. CriterioLa curva deflactante sobre una superficie algebraica fue descubierta por G. Castelnuovo y es uno de los logros clásicos de la escuela italiana .

Una curva racional sobre una superficie algebraica se puede convertir en un punto suave si y solo si su paquete normal es isomorfo al paquete tautológico ..

G. Castelnuovo .

Por ejemplo, si se amplían dos puntos en el plano proyectivo, se eliminará la preimagen adecuada de la línea que los atraviesa. Cuando es volado, se obtiene una cuádrica . Los lápices de líneas que pasan por estos dos puntos, bajo tal transformación, pasan a dos familias de líneas en una cuádrica . La transformación inversa se puede describir visualmente de la siguiente manera. Considere una cuádrica en un espacio proyectivo tridimensional y un punto en ella, así como algún plano que no pasa por . Asociar el punto con el punto de intersección de la recta con el plano . Para que esta operación esté correctamente definida en el punto , primero debemos inflar la cuádrica en él. La proyección está bien definida y es uno a uno fuera de dos líneas en un cuadrado que pasa por el centro de la proyección. Así, la proyección sopla estas líneas en dos puntos. $q$ $X$ $\Pi$ $X$ ${\ estilo de visualización y \ en Q}$ $xy$ $\Pi$ $X$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Bl} _ {x} (Q) \ a \ Pi}$

El criterio de Castelnuovo es útil en la clasificación de superficies algebraicas : después de todos los soplados posibles, se obtiene el llamado modelo mínimo de una superficie algebraica; no es difícil clasificar tales superficies. Las explosiones también son útiles en otras cuestiones de la geometría algebraica de las superficies: por ejemplo, el grupo bidimensional de Cremona (el grupo de transformaciones racionales del plano proyectivo) se genera mediante composiciones de explosiones y explosiones.

En una superficie algebraica, solo se puede volar un número finito de puntos. Sin embargo, es posible simular la explosión del avión en todos los puntos considerando los límites de las redes de Nero-Severi sobre todas las posibles explosiones. El objeto resultante se llama espacio de Picard-Manin . Este es el espacio de Minkowski de dimensión infinita sobre el que actúa el grupo de Cremona. Los geómetras franceses S. Kant y S. Lamy , habiendo considerado esta acción, probaron que el grupo de Cremona no es simple . [6]

Inflación del esquema

La descripción más fructífera de las explosiones en grandes dimensiones se da en la teoría de los esquemas . Por ejemplo, si es un esquema proyectivo, y a es un haz coherente de ideales en él, entonces la ampliación del esquema en el ideal es el esquema junto con el mapeo de esquemas tal que, en primer lugar, el haz es invertible , y en segundo lugar, cualquier morfismo tal que la gavilla sea invertible, únicamente pasa por el morfismo . Esta propiedad genérica define la hinchazón de una manera única. Explícitamente, la ampliación define la construcción Proj como . Cuando se habla de estallar en un subesquema cerrado , se quiere decir estallar en un haz de ideales que define ese subesquema. El subcircuito donde ocurre la explosión se llama centro de explosión . La subvariedad que aparece después de la explosión será siempre un divisor , llamado divisor excepcional . $X$ $\mathcal{yo}$ $\mathrm {Bl}_{\mathcal {I}}(X)$ $\pi \colon \mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)\to X$ ${\displaystyle \pi ^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{\mathrm {Bl}_{\mathcal {I}}(X)))$ $f\dos puntos Y\a X$ $f^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ $\Pi$ $\mathrm {Proy} \bigoplus _{i=0}^{+\infty }{\mathcal {I}}^{i}$

Esta definición permite inflar en cualquier subcircuito cerrado. Si el esquema era una variedad suave y el centro de la explosión era su subvariedad suave, entonces lo que sucede topológicamente puede describirse como cortar una pequeña vecindad del centro de la explosión y pegarla en la proyectivización de su normal. paquete, que en cada capa parece un paquete de Hopf generalizado. Cuando se infla en un centro liso en codimensión uno, no pasa nada. Si el centro no era una subvariedad suave, entonces la variedad, en términos generales, cambia. Las ampliaciones de curvas no suaves en puntos singulares, descritas anteriormente geométricamente, pueden servir como ejemplo. Una explosión de esquema en todo el esquema es un esquema vacío. En este caso, el problema de la terminología articulado por Bondal es particularmente grave: el "mapa" de explosión ni siquiera está definido localmente, y el mapa de explosión es una inclusión tautológica de un subcircuito vacío. $X$ $X$

Las ampliaciones centradas en subvariedades se utilizan ampliamente en geometría algebraica. Así, V. A. Iskovskikh usó ampliaciones en la clasificación de los tríos de Fano de índice 1 con el grupo de Picard isomorfo a . [7] Variedad Hironaki no proyectiva $\matemáticas {Z}$ se obtiene mediante sucesivas ampliaciones de puntos y curvas en una variedad proyectiva tridimensional y posterior encolado.

En la cultura popular

Las explosiones son a veces el blanco de bromas matemáticas , principalmente debido a su nombre informal. En la tradición inglesa, las explosiones se llaman eng. explosión , que también se puede traducir como "explosión" (esta palabra se usa en inglés matemático y en otros contextos, por ejemplo, para describir soluciones de ecuaciones diferenciales que van al infinito en un tiempo finito). Así, la expresión " volar ocho puntos en un avión " también se puede traducir como "volar ocho puntos en un avión" . Esta ambigüedad es el tema de una leyenda urbana popular en la comunidad matemática sobre geómetras algebraicos detenidos en un aeropuerto discutiendo explosiones. [8] En la cultura matemática de habla rusa, a veces se exagera la similitud de las palabras en inglés. explosión e ing. mamada _ [9]

Notas

↑ Yu. S. Ilyashenko , S. Yu. Yakovenko . Teoría analítica de ecuaciones diferenciales, ISBN 978-5-4439-0230-2
↑ DB Kaledin . Introducción a la clase de geometría algebraica 8 Archivado el 20 de septiembre de 2021 en Wayback Machine .
↑ A. L. Gorodentsev . Materiales didácticos para mi curso Álgebra - 2 (NMU, año académico 2014/15, segundo año) Copia archivada del 20 de septiembre de 2021 en Wayback Machine
↑ AN Tyurin. Colección de obras seleccionadas: En 3 volúmenes Tomo 3. Geometría algebraica en topología y física. ISBN 5939725880
↑ Yu. I. Manin. Formas cúbicas: álgebra, geometría, aritmética. ISBN 978-5-458-44779-9
↑ S. Cantat, S. Lamy. Subgrupos normales en el grupo de Cremona (versión larga) Archivado el 7 de noviembre de 2017 en Wayback Machine , Acta Mathematica 210, p. 31-94, 2013
↑ V. A. Iskovskikh. Proyección doble de una línea en Fano 3 pliegues del primer tipo . Archivado el 20 de septiembre de 2021 en Wayback Machine , Mat. Se sentó. , 1989, volumen 180, número 2, páginas 260-278
↑ "Leyendas urbanas" matemáticas , MathOverflow
↑ Oído fuera de las matemáticas | IUM , página no oficial de NMU en VKontakte