Espacio métrico completo

Un espacio métrico completo es un espacio métrico en el que converge toda sucesión fundamental (a un elemento del mismo espacio) [1] .

En la mayoría de los casos, se consideran los espacios métricos completos. Para los espacios incompletos existe una operación de terminación , que permite considerar el espacio original como un conjunto denso en su terminación. La operación de reabastecimiento es en muchos aspectos similar a la operación de cierre de subconjuntos.

Reposición

Cualquier espacio métrico se puede incrustar en un espacio completo de tal manera que la métrica extienda la métrica y el subespacio sea denso en todas partes . Tal espacio se llama terminación y generalmente se denota por . $X=(X,\rho)$ $Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ $\bar X$

Construcción

Para un espacio métrico , sobre el conjunto de sucesiones fundamentales en uno se puede introducir una relación de equivalencia $X=(X,\rho)$ $X$

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

El conjunto de clases de equivalencia con la métrica definida $\bar X$

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

es un espacio métrico. El espacio mismo está incrustado isométricamente en él de la siguiente manera: un punto corresponde a la clase de una secuencia constante . El espacio resultante será la terminación . $(X,\rho)$ $x\en X$ $x_n=x$ $(\barra X,\barra\rho)$ $X$

Propiedades

La terminación de un espacio métrico es única , hasta la isometría .
La finalización de un espacio métrico es isométrica al cierre de la imagen bajo la incrustación de Kuratowski $METRO$
La completitud es heredada por subconjuntos cerrados de un espacio métrico completo.
Los espacios métricos completos son espacios de la segunda categoría de Baire . Es decir, si el espacio total se agota por una unión numerable de conjuntos cerrados, entonces al menos uno de ellos tiene puntos interiores.
Un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y completamente acotado ; es decir, porque cualquier espacio puede ser cubierto por un número finito de bolas de radio . $X$ $\varepsilon >0$ $X$ $\varepsilon$
Teorema del punto fijo de Banach . Las asignaciones de contracción de un espacio métrico completo en sí mismo tienen un punto fijo.
La completitud de un espacio métrico no es una propiedad topológica. Es decir, un espacio métrico completo puede no estar completo cuando la métrica se reemplaza por una equivalente, es decir, una métrica que genera la misma topología que la métrica original.
- Una propiedad topológica es la presencia de al menos una métrica completa en la clase de métricas que generan la topología de un espacio métrico (la llamada completitud topológica métrica o metrizabilidad por una métrica completa).

Ejemplos

Espacios métricos completos

El conjunto de números reales (reales) es completo en la métrica estándar . $\matemáticas {R}$ $d(x, y) = |x - y|$
En general, cualquier espacio euclidiano o unitario de dimensión finita es completo [1] .
La propiedad de completitud es obligatoria en la definición de un espacio de Banach , en particular un espacio de Hilbert .
El espacio de funciones continuas en un intervalo con métrica uniforme es un espacio métrico completo, y por lo tanto es un espacio de Banach si lo consideramos como un espacio lineal normado.

Espacios métricos incompletos

Los números racionales con distancia estándar son un espacio métrico incompleto. El resultado de completar este espacio será el conjunto de todos los números reales . $\matemáticas {Q}$ $d(x,y)=|xy|$ $\matemáticas {R}$
Asimismo, los números racionales pueden estar dotados de una valoración p-ádica , cuya terminación con respecto a la cual conduce al campo de los números p-ádicos . $\mathbb Q_p$
El espacio de funciones integrables (según Riemann) sobre un segmento en la métrica integral . El resultado de completar este espacio será el espacio de funciones integrables de Lebesgue definidas en el mismo intervalo. $d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx$

Variaciones y generalizaciones

Si tiene una estructura algebraica consistente con la métrica, como un anillo topológico , entonces esta estructura naturalmente continúa hasta su finalización. $X$

Notas

↑ 1 2 Shilov, 1961 , pág. 40

Literatura

Zorich V. A. Análisis matemático. — T. 2. IX, §5.
Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.