Grupo electrógeno de un grupo

El conjunto generador de un grupo (o el conjunto de generadores [1] , o el sistema de generadores ) es un subconjunto en el que cada elemento puede escribirse como el producto de un número finito de elementos y sus inversos. $GRAMO$ $S$ $GRAMO$ $GRAMO$ $S$

Definición

Sea un subconjunto del grupo . Definimos — un subgrupo generado por — como el subgrupo más pequeño que contiene todos los elementos de , es decir, la intersección de todos los subgrupos que contienen . De manera equivalente, es un subgrupo de todos los elementos que se pueden representar como productos finitos de elementos y sus inversos . $S$ $GRAMO$ $\langle S\rangle$ $S$ $GRAMO$ $S$ $S$ $\langle S\rangle$ $GRAMO$ $S$

Si , entonces decimos que genera un grupo . Los elementos se denominan generadores del grupo. Si un grupo tiene un conjunto finito de generadores, entonces se llama un grupo finitamente generado . $G=\langle S\rangle$ $S$ $GRAMO$ $S$ $GRAMO$

Notas

Tenga en cuenta que si está vacío, entonces, por definición, es un grupo trivial que consta de un elemento neutral. $S$ $\langle S\rangle$

Cuando contiene un solo elemento , generalmente se escribe en lugar de . En este caso, es un subgrupo cíclico de grados en . $S$ $X$ ${\ estilo de visualización \ ángulo x \ ángulo}$ $\langle \{x\}\rangle$ ${\ estilo de visualización \ ángulo x \ ángulo}$ $X$ $GRAMO$

Generación de semigrupos y monoides

Para el caso de que sea un semigrupo o un monoide, también se puede introducir un concepto similar de conjunto generador: genera como semigrupo o monoide si es un semigrupo mínimo o un monoide mínimo, respectivamente, que contiene . $GRAMO$ $S$ $GRAMO$ $GRAMO$ $S$

Tal definición también se puede expresar en el lenguaje de la representabilidad de los elementos como una combinación. Para un semigrupo, podemos decir que es un conjunto generador si cada elemento se puede representar como un producto finito de elementos de . Para un monoide, podemos decir que es un conjunto generador si cada elemento , excepto el neutro, puede representarse como un producto finito de elementos de . $S$ $GRAMO$ $S$ $S$ $GRAMO$ $S$

Debido a la diferencia de definiciones, el mismo conjunto puede generarse en un sentido, pero no en otro. Por ejemplo, para un monoide de enteros no negativos, el conjunto generador será , pero para un semigrupo ya no es un conjunto generador, ya que el 0 no se puede representar como una suma de unidades. De manera similar, para un grupo es un conjunto generador, pero no para un monoide, ya que la definición de un conjunto generador para un monoide no incluye tomar inversas. ${\ estilo de visualización (\ mathbb {N} _ {\ geq 0}, +)}$ $S=\{1\}$ ${\ estilo de visualización (\ mathbb {N} _ {\ geq 0}, +)}$ $S$ $\matemáticas {Z}$ $\{una\}$

Grupo electrógeno de un grupo

Definición

Notas

Generación de semigrupos y monoides

Véase también

Notas

Literatura