Secuencia hermosa

En matemáticas , una secuencia de Beatty homogénea es una secuencia de números enteros que se encuentra tomando la parte entera ("piso") de múltiplos positivos de números irracionales positivos . Las secuencias de Beatty llevan el nombre de Samuel Beatty , quien escribió sobre ellas en 1926 . Las secuencias de Beatty también se pueden usar para generar palabras Sturmianas .

Definición de la secuencia de Beatty

La secuencia de Beatty, cuya base es algún número irracional positivo , se puede definir de la siguiente manera:

{\mathcal {B}}_{r}=\lpiso r\rpiso,\lpiso 2r\rpiso,\lpiso 3r\rpiso,\ldots

Si entonces también es un número irracional positivo. En este caso, estos dos números generan la siguiente dependencia: . ${\ estilo de visualización r> 1 \,,}$ ${\ estilo de visualización s = r/(r-1)}$ ${\frac{1}{r}}+{\frac{1}{s}}=1$

Las dos sucesiones de Beatty que definen, a saber,

{\mathcal {B}}_{r}=(\lpiso nr\rpiso)_{n\geq 1}

{\mathcal {B}}_{s}=(\lpiso ns\rpiso)_{n\geq 1}

forman un par de secuencias de Beatty complementarias . Aquí la palabra "complementario" significa que cada número entero positivo pertenece exactamente a una de estas dos secuencias.

Ejemplos de secuencias de Beatty

En el caso donde , donde es la proporción áurea , tenemos . En este caso, la secuencia se convierte en la secuencia de Wiethoff inferior : $r=\varfi$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización s = r + 1}$ ${\mathcal {B}}_{r}={\mathcal {\check {W}}}$

1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29,... secuencia A000201 en OEIS .

La secuencia complementaria es la secuencia - la secuencia superior de Wythoff : ${\mathcal {B}}_{s}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {W))))$

2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47,... secuencia A001950 en el OEIS .

Por otro lado, para , tenemos . En este caso, las siguientes secuencias degeneran: $r={\sqrt {2}}$ $s=2+{\sqrt {2}}$

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... secuencia OEIS A001951 y
3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58,... secuencia A001952 en OEIS .

Para y las secuencias ${\ estilo de visualización r = \ pi}$ $s={\cfrac {\pi }{\pi -1))$

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... secuencia OEIS A022844 y
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26,... secuencia A054386 en el OEIS .

Cualquier número de la primera secuencia falta en la segunda y viceversa.

Historia

La sucesión de Beatty toma su nombre de un problema planteado en el American Mathematical Monthly por Samuel Beatty en 1926 [1] [2] . Este es probablemente uno de los temas más citados jamás planteados en esta revista. Sin embargo, incluso antes, en 1894, John W. Strutt (tercer barón Rayleigh) mencionó brevemente tales secuencias en la segunda edición de su libro The Theory of Sound . [3]

Teorema de la secuencia de Beatty de Rayleigh (teorema de Beatty)

El teorema de Rayleigh , llamado así por Lord Rayleigh , establece que el complemento de una secuencia de Beatty que consta de números enteros positivos que no están en la secuencia es en sí misma una secuencia de Beatty generada por otro número irracional. [3]

Siempre existe tal que las sucesiones dividen el conjunto en conjuntos de números naturales tal que cada elemento de este conjunto pertenece exactamente a una de las dos sucesiones. $s>1$ ${\mathcal {B}}_{r},\ {\mathcal {B}}_{s}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} ^{+))$ ${\mathcal {N}}_{1}...{\mathcal {N}}_{i}$

Primera prueba

Suponiendo que let . Probemos que , donde operando "|" es el operando " o ". Haremos esto considerando las posiciones ordinales ocupadas por todas las fracciones y , listadas juntas en orden no decreciente para ${\ estilo de visualización r> 1 \,,}$ ${\ estilo de visualización s = r/(r-1)}$ $\forall x\in \mathbb {Z} ^{+}:x\ {\overset {!}{\in }}\ {\mathcal {B}}_{r|s}$ ${\ estilo de visualización {\ frac {j} {r}}}$ ${\ estilo de visualización {\ frac {k} {s}}}$ ${\displaystyle j,k\in \mathbb {Z} ^{+))$

Para ver que dos números no pueden ocupar la misma posición (como un solo número), supongamos que, por el contrario, , luego fracciones , pero, al mismo tiempo, , y esta fracción no pertenece al conjunto de los enteros. Por lo tanto, no hay dos números que ocupen la misma posición. $\existe j,k\in \mathbb {Z} ^{+}:{\frac {j}{r}}={\frac {k}{s}}$ ${\frac {r}{s}}={\frac {j}{k}}\in \mathbb {Z}$ ${\frac {r}{s}}=r(1-{\frac {1}{r}})=r-1$

Para cualquier fracción , hay números exactos y números exactos , por lo que la posición de la fracción en el arreglo original será . La ecuación se convierte en la siguiente: ${\ estilo de visualización {\ frac {j} {r}}}$ $j$ ${\frac{i}{r}}\leq {\frac{j}{r}}$ $\lpiso js/r\rpiso$ ${\frac {k}{s}}\leq {\frac {j}{r}}$ ${\ estilo de visualización {\ frac {j} {r}}}$ $j+\lpiso js/r\rpiso$ ${\frac{1}{r}}+{\frac{1}{s}}=1$

j+\lpiso js/r\rpiso =j+\lpiso j(s-1)\rpiso =\lpiso js\rpiso .

Asimismo, la posición de la fracción en el arreglo será . ${\ estilo de visualización k/s}$ $\lpiso kr\rpiso$

Conclusión: todo entero positivo (es decir, cada posición en la lista) tiene la forma o , pero no ambos al mismo tiempo. Lo contrario también es cierto: si , de modo que cada entero positivo aparezca exactamente una vez en la lista anterior, entonces . $\lpiso nr\rpiso$ $\lpiso ns\rpiso$ $p,q\en \mathbb {R}$ $p,q\in \mathbb {I} ;\ {\frac {1}{p))+{\frac {1}{q))=1$

Generalizaciones

Si lo cambiamos un poco, entonces el teorema de Rayleigh se puede generalizar a números reales positivos (no necesariamente irracionales), así como a números enteros negativos: si los números reales positivos satisfacen y satisfacen , las secuencias y forman una sección de números enteros. Por ejemplo, las teclas blancas y negras del teclado de un piano se distribuyen como tales secuencias para y . $r$ $s$ ${\ estilo de visualización 1/r+1/s=1}$ ${\displaystyle (\lfloor mr\rfloor )_{m\in \mathbb {Z} ))$ ${\displaystyle (\lceil ns\rceil -1)_{n\in \mathbb {Z} ))$ ${\ estilo de visualización r = 12/7}$ ${\ estilo de visualización s = 12/5}$

El teorema de Lambek-Moser generaliza el teorema de Rayleigh y demuestra que los pares de secuencias más generales definidos a partir de una función entera y su función inversa tienen la misma propiedad de dividir enteros.

El teorema de Ouspensky establece que si los números reales positivos como contienen todos los enteros positivos exactamente una vez, es decir, no existe un equivalente del teorema de Rayleigh para tres o más secuencias de Beatty. [4] [5] ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {n}}$ ${\displaystyle (\lpiso k\alpha _{i}\rpiso)_{k,i\geq 1))$ ${\ estilo de visualización n \ leq 2.}$

Referencias

↑ Beatty, Samuel;. Problema 3173 // American Mathematical Monthly : diario . - 1926. - Vol. 33 , núm. 3 . — Pág. 159 . -doi : 10.2307/ 2300153 .
↑ S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; AC Aitken. Soluciones al problema 3173 // American Mathematical Monthly : revista . - 1927. - Vol. 34 , núm. 3 . - P. 159-160 . -doi : 10.2307/ 2298716 . — .
↑ 1 2 John William Strutt, tercer barón Rayleigh . La teoría del sonido . - Segundo. - Macmillan, 1894. - T. 1. - S. 123.
↑ JV Uspensky, Sobre un problema que surge de la teoría de cierto juego, Amer. Matemáticas. Mensual 34 (1927), págs. 516–521.
↑ R.L. Graham, Sobre un teorema de Uspensky , Amer. Matemáticas. Mensual 70 (1963), págs. 407–409.

Lecturas adicionales

Holshouser, Arthur; Reiter, Harold. Una generalización del teorema de Beatty // Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2001. - T. 2 . - S. 24-29 . Archivado desde el original el 19 de abril de 2014.
Stolarsky, Kenneth. Secuencias de Beatty, fracciones continuas y ciertos operadores de cambio // Canadian Mathematical Bulletin : diario. - 1976. - vol. 19 , núm. 4 . - pág. 473-482 . -doi : 10.4153 / CMB-1976-071-6 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Beatty Sequence (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Alexander Bogomolny, Beatty Sequences , Cortar el nudo