La regla de Ruffini

La regla de Ruffini es una técnica efectiva para dividir un polinomio en un binomio de la forma En 1804, fue descrita por Paolo Ruffini . [1] La regla de Ruffini es un caso especial de división sintética cuando el divisor es lineal. ${\ estilo de visualización xr.}$

Algoritmo

La regla establece un método para dividir un polinomio

{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0))

en binomio

Q(x)=xr

por privado

{\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0))

;

De hecho, el algoritmo realiza la división de columnas P ( x ) por Q ( x ).

Para dividir P ( x ) por Q ( x ) de acuerdo con este algoritmo, necesita

Toma los coeficientes P ( x ) y escríbelos en orden. Luego escribe r a la izquierda, justo encima de la línea: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&\\\end {formación}}$
Mueva el coeficiente más a la izquierda ( a n ) hacia abajo, justo debajo de la línea: ${\begin{matriz}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\& =b_{n-1}&&&&\\\end{matriz}}$
Multiplique el número más a la derecha debajo de la línea por r y escríbalo al lado de la línea: ${\begin{matriz}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{matriz}}$
Agregue dos valores en la misma columna: ${\begin{matriz}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{matriz}}$
Repita los pasos 3 y 4 siempre que haya números: ${\begin{matriz}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1} &=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{matriz}}$

Los números b i son los coeficientes del cociente ( R ( x )), cuyo grado es uno menos que el grado de P(x). El último valor de s recibido es el resto . Según el teorema de Bezout , este resto es P ( r ).

Uso

División por polinomio x - r

Un ejemplo de trabajo de dividir polinomios de acuerdo con el algoritmo descrito anteriormente.

Dejar:

P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,

Q(x)=x+1.

Queremos encontrar usando la regla de Ruffini. El principal problema es que este no es un binomio de la forma , sino que tenemos que reescribirlo así: ${\ estilo de visualización P (x)/Q (x)}$ $q(x)$ ${\ estilo de visualización xr,}$ ${\ estilo de visualización x+r.}$

Q(x)=x+1=x-(-1).

Ahora aplicamos el algoritmo:

1. Escriba los coeficientes y el número Tenga en cuenta que como no contiene un coeficiente, escribimos 0: $R.$ $P(x)$ ${\ estilo de visualización x^{1},}$