Transformación de coordenadas

La transformación de coordenadas es la sustitución de un sistema de coordenadas en un plano, en el espacio o, en el caso más general, en una variedad de dimensiones dadas . $norte$

Un ejemplo de la transición de coordenadas polares a cartesianas en el plano euclidiano : ${\ estilo de visualización \ {r, \ varphi \}}$ ${\ estilo de visualización \ {x, y \}}$

{\begin{casos}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{casos))

La mayoría de las veces, la transformación de coordenadas se realiza para pasar a un modelo matemático más simple o conveniente para el análisis . Por ejemplo, las ecuaciones de algunas curvas planas en coordenadas polares son mucho más sencillas que en las cartesianas, y para estudiar cuerpos axisimétricos conviene orientar uno de los ejes de coordenadas a lo largo del eje de simetría.

Definición

La transformación de coordenadas es un conjunto de reglas [1] que asocia cada conjunto de coordenadas en alguna variedad bidimensional con otro conjunto de coordenadas : $\{x_{1},x_{2}\puntos x_{n}\}$ $norte$ $\{x_{1}',x_{2}'\puntos x_{n}'\}$

{\begin{casos}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2} '(x_{1},x_{2},\puntos x_{n})\\\puntos \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\puntos x_ {n})\end{casos}}

En este caso, después de la transformación, debe conservarse una correspondencia biunívoca entre los puntos de la variedad y los conjuntos de coordenadas (se permiten excepciones para algunos puntos singulares).

Esta transformación se puede interpretar de dos formas [2] .

Punto de vista pasivo: hay un cambio en las coordenadas de los puntos de la variedad. Todos los puntos permanecen en sus lugares.
Punto de vista activo - la transformación asigna a cada punto de la variedad otro punto. El sistema de coordenadas no cambia.

Ejemplo para el plano euclidiano :

{\begin{casos}x'=x+1\\y'=y\end{casos))

Esta transformación se puede interpretar de dos maneras.

Cambio de sistema de coordenadas que aumenta la abscisa de todos los puntos en 1.
Trasladar todos los puntos del plano por 1 paralelos al eje $X.$

Para obtener un resumen de las fórmulas de transformación básicas para sistemas de coordenadas de importancia práctica, consulte el artículo Sistema de coordenadas .

Clasificación

Según el tipo de fórmulas, todas las transformaciones de coordenadas se pueden agrupar en varias clases con propiedades típicas comunes. Las siguientes son algunas clases de transformaciones importantes en la práctica que se pueden combinar entre sí.

Isometría : transformaciones que conservan todas las longitudes. Incluido:
- Rotación alrededor de un punto o eje.
- transferencia paralela .
- Reflexión _ La combinación de estos tres tipos se llama movimiento .
Un mapeo conforme que conserva todos los ángulos. Incluido:
- Similitud : se conservan los ángulos, pero todas las longitudes se multiplican por una relación constante de estiramiento/compresión.
Transformación afín .

Por lo general, una clase distinguida es un grupo de transformaciones en el sentido del álgebra general , es decir, la composición de dos transformaciones pertenece a la misma clase y para cada transformación hay una inversa. El estudio de este grupo permite destacar simetrías e invariantes de transformaciones.

Invariantes

Una invariante de esta transformación de coordenadas es una función de coordenadas, cuyos valores no cambian después de la transformación [3] . Por ejemplo, las rotaciones y traslaciones no cambian la distancia entre puntos en el espacio euclidiano. Los invariantes son una característica importante de un grupo de transformación.

Véase también

Literatura

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de instituciones de educación superior. - ed. 13 — M .: Nauka, 1986. — 544 p.
Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . — M .: Nauka, 1973. — 720 p.
Yaglom I. M. Transformaciones geométricas. Volúmenes 1, 2. - M .: Gostekhizdat, 1956, 612 p.

Enlaces

Zaslavsky A. A. Transformaciones geométricas Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .

Notas

↑ Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1973 , p. 362..
↑ Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1973 , p. 362-363..
↑ Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1973 , p. 363..