Transformaciones de Lorentz

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Las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales (o afines) de un espacio pseudo-euclidiano vectorial (respectivamente, afín) que conservan longitudes o, de manera equivalente, el producto escalar de vectores.

Las transformaciones de Lorentz del espacio de la firma pseudo-euclidiana se utilizan ampliamente en física, en particular, en la teoría especial de la relatividad (SRT) , donde el continuo espacio-tiempo de cuatro dimensiones ( espacio de Minkowski ) actúa como un espacio pseudo-euclidiano afín . $(n-1,\;1)$

Transformaciones de Lorentz en matemáticas

La transformación de Lorentz es una generalización natural del concepto de transformación ortogonal (es decir, una transformación que conserva el producto escalar de vectores) de espacios euclidianos a pseudoeuclidianos . La diferencia entre ellos es que se supone que el producto escalar no es definido positivo, sino de signos alternos y no degenerado (el llamado producto escalar indefinido ).

Definición

La transformación de Lorentz ( Transformación de Lorentz ) de un espacio vectorial pseudo-euclidiano es una transformación lineal que conserva el producto escalar indefinido de vectores. Esto significa que para dos vectores cualesquiera la igualdad $L$ $A\dos puntos L\a L$ $x,\;y\en L$

\langle A(x),\;A(y)\rangle =\langle x,\;y\rangle ,

donde los corchetes triangulares denotan el producto escalar indefinido en el espacio pseudo-euclidiano . $\langle x,\;y\rangle$ $L$

De manera similar, la transformación de Lorentz ( Transformación de Lorentz ) de un espacio afín pseudo-euclidiano es una transformación afín que conserva la distancia entre puntos en ese espacio (esta distancia se define como la longitud del vector que conecta los puntos dados usando un producto escalar indefinido) .

Propiedades generales

Dado que toda transformación afín es una composición de una traslación paralela (que obviamente conserva la distancia entre los puntos) y una transformación que tiene un punto fijo, el grupo de transformación de Lorentz de un espacio afín ( grupo de Poincaré ) se obtiene del grupo de transformación de Lorentz de un espacio vectorial ( grupo de Lorentz ) de la misma dimensión añadiéndole todas las transferencias paralelas posibles.
Si se elige alguna base en un espacio vectorial pseudo-euclidiano , entonces se define la matriz de Gram para el producto escalar indefinido . Entonces la matriz de transformación de Lorentz satisface la relación $L$ $e_{1},\;\ldots,\;e_{n}$ $\langle x,\;y\rangle$ $GRAMO$ $A$

A^{T}\,G\,A=G,\qquad (*)

Por el contrario, cualquier matriz que satisfaga la relación es una matriz de transformación de Lorentz. Siempre es posible elegir una base de tal manera que el producto escalar indefinido tenga la forma $A$ $(*)$ $e_{1},\;\ldots,\;e_{n}$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}-x_{{k+1}}y_{{k+1}}-\ldots -x_{n}y_{n},

y en igualdad la matriz es diagonal con elementos (primero ) y (ultimo ). $(*)$ $GRAMO$ $una$ $k$ $-una$ $nk$

De la relación se sigue que, como en el caso de una transformación ortogonal, el determinante o . $(*)$ ${\ estilo de visualización | A | = +1}$ ${\ estilo de visualización | A | = -1}$
Si un subespacio es invariante bajo la transformación de Lorentz , entonces su complemento ortogonal (en el sentido del producto escalar indefinido dado) también es invariante bajo la transformación y . Sin embargo, a diferencia de las transformaciones ortogonales de los espacios euclidianos, la igualdad , donde el símbolo significa la suma directa de subespacios, en términos generales, no se cumple (ambos subespacios pueden contener los mismos vectores isotrópicos distintos de cero , es decir , ya que cualquier vector isotrópico es ortogonal a sí mismo) [1] . $L_{1}\subconjunto L$ $A\dos puntos L\a L$ $L_{1}^{\perp}$ $A$ $\dim L_{1}+\dim L_{1}^{\perp}=\dim L$ $L_{1}\oplus L_{1}^{\perp}=L$ $\oplus$ $L_{1}$ $L_{1}^{\perp}$ $L_{1}\cap L_{1}^{\perp}\neq 0$

Propiedades en espacios de firma (n-1, 1)

De la igualdad se deduce que la transformación de Lorentz traduce el cono de luz en sí mismo y también traduce su apariencia en sí mismo (en SRT , la región de lo absolutamente remoto ). Sin embargo, en este caso, los dos componentes del cono de luz, separados por su vértice (en SRT, limitan el cono del futuro y el cono del pasado ), pueden pasar entre sí o cambiar de lugar entre sí. $\langle A(x),\;A(x)\rangle =\langle x,\;x\rangle$
Según si una transformación de Lorentz dada reorganiza partes del cono de luz o las deja en su lugar, así como el signo del determinante , el grupo de Lorentz se puede dividir en 4 partes, que son sus componentes conectados por caminos (pero solo uno). de ellos es un subgrupo). Este hecho (la presencia de cuatro componentes conectados) se interpreta a menudo como la presencia de cuatro orientaciones del espacio pseudo-euclidiano (en contraste con el espacio euclidiano, donde solo hay dos orientaciones) [1] . $A$ ${\ estilo de visualización | A | = \ pm 1}$

Forma explícita de transformaciones del plano pseudo-euclidiano

Las transformaciones de Lorentz del plano pseudo-euclidiano se pueden escribir en la forma más simple, utilizando una base que consta de dos vectores isotrópicos : $p.ej$

\langle e,\;e\rangle =0,\quad \langle g,\;g\rangle =0,\quad \langle e,\;g\rangle =1/2.

Es decir, dependiendo del signo del determinante , la matriz de transformación en esta base tiene la forma: ${\ estilo de visualización | A | = \ pm 1}$

A={\begin{pmatrix}a&\ \ \,0\\0&\,1/a\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=+1,\qquad A={\begin{pmatrix}0& \ a\\1/a&\,0\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.

El signo del número determina si la transformación deja partes del cono de luz en su lugar o las intercambia . $a$ $A$ $(a>0)$ $(a<0)$

Otra forma frecuente de las matrices de transformación de Lorentz del plano pseudo-euclidiano se obtiene eligiendo una base que consta de los vectores y : $e'=e+g$ $g'=eg$

\langle e',\;e'\rangle =+1,\quad \langle g',\;g'\rangle =-1,\quad \langle e',\;g'\rangle =0.

En la base , la matriz de transformación tiene una de cuatro formas: ${\ estilo de visualización e', \; g'}$ $A$

{\begin{pmatrix}\ \operatorname {ch}\varphi &\ \ \operatorname {sh}\varphi \\\,\operatorname {sh}\varphi &\ \operatorname {ch}\varphi \end{pmatrix}} ,\quad {\begin{pmatrix}\ -\operatorname {ch}\varphi &\,\ -\operatorname {sh}\varphi \\\,-\operatorname {sh}\varphi &\,-\operatorname {ch }\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-\operatorname {ch}\varphi &\,-\operatorname {sh}\varphi \\\,\operatorname {sh}\varphi &\ \operatorname {ch}\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \operatorname {ch}\varphi &\ \,\operatorname {sh}\varphi \\\,-\operatorname {sh }\varphi &\,-\operatorname {ch}\varphi \end{pmatrix}},\qquad (0)

donde y son el seno y el coseno hiperbólicos , y es la velocidad . $\nombre del operador {sh}$ $\nombre del operador {ch}$ $\varphi$

Forma explícita de transformaciones de espacio de firma (n-1, 1)

Transformaciones de Lorentz del espacio pseudo-euclidiano bidimensional con producto escalar $norte$ $L$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{{n-1}}y_{{n-1}}-x_{n}y_{n}\quad ( una)

se describen mediante el siguiente teorema.

Teorema 1. Para cualquier transformación de Lorentz existen subespacios invariantes y tales que la restricción del producto escalar (1) a cada uno de ellos es no degenerada y existe una descomposición ortogonal $A\dos puntos L\a L$ $L_{0}\subconjunto L$ $L_{1}\subconjunto L$

L=L_{0}\o más L_{1},\quad L_{0}\perp L_{1},

donde el subespacio con producto escalar (1) es euclidiano y . [una] $L_0$ $\dim L_{1}\leqslant 3$

El teorema 1 establece que cualquier transformación lorentziana de un espacio de firma pseudo-euclidiano está dada por una transformación lorentziana de un espacio pseudo-euclidiano de dimensión 1 o 2 o 3 y una transformación ortogonal de un espacio euclidiano extradimensional. $L$ $(n-1,\;1)$ $L_{1}\subconjunto L$ $L_{0}\subconjunto L$

Lema. Si , entonces el subespacio pseudo-euclidiano invariante , a su vez, puede representarse como una suma directa ${\ estilo de visualización \ dim L_ {1} = 3}$ $L_{1}$

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}\oplus M_{3}

L_{1}=M_{1}\o más M_{2}

subespacios , que son ortogonales por pares e invariantes bajo la transformación , excepto en un único caso en el que la transformación tiene un valor propio único de multiplicidad 3 y el único vector propio es isótropo: . En este caso único, el subespacio invariante no se descompone en una suma directa de ningún subespacio que sea invariante bajo la transformación , sino que es un subespacio raíz tridimensional de esta transformación [1] . $M_{i}\subconjunto L_{1}$ $A$ $A\dos puntos L_{1}\a L_{1}$ $\lambda=\pm1$ $e\en L_{1}$ $\langle e,\;e\rangle =0$ $L_{1}$ $A\dos puntos L_{1}\a L_{1}$

El teorema 1 junto con el lema nos permiten establecer el siguiente resultado:

Teorema 2. Para cualquier transformación de Lorentz , existe tal base ortonormal (con respecto al producto escalar indefinido (1)) : $A\dos puntos L\a L$ $e_{1},\;\ldots,\;e_{n}$

\langle e_{1},\;e_{1}\rangle =\ldots =\langle e_{{n-1}},\;e_{{n-1}}\rangle =+1,\quad \langle e_{n},\;e_{n}\rangle =-1,\quad \langle e_{i},\;e_{j}\rangle =0\;(\forall i\neq j),

en la que la matriz tiene forma de bloque-diagonal con bloques de los siguientes tipos: $A$

orden 1 con elemento , $\pm 1$
orden 2 es la matriz de rotación del plano euclidiano a través del ángulo , $\varphi$
orden 2 es la matriz de transformación de Lorentz del plano pseudo-euclidiano de la forma , $(0)$
de orden 3 es la matriz de transformación de Lorentz de un espacio pseudo-euclidiano tridimensional con un valor propio triple y un vector propio isotrópico único. $\lambda=\pm1$

En este caso, la matriz no puede contener más de un bloque perteneciente a los dos últimos tipos [1] . $A$

Además, se cumple la siguiente representación de las transformaciones de Lorentz del espacio pseudo-euclidiano bidimensional con producto interno . $norte$ $L$ $(una)$

Teorema 3. Cualquier transformación de Lorentz de un espacio con producto interior se puede representar como una composición de las siguientes transformaciones lineales: $A\dos puntos L\a L$ $L$ $(una)$

transformación ortogonal del subespacio euclidiano dada por la ecuación , con coordenadas , ${\ estilo de visualización x_ {n} = 0}$ $(x_{1},\;\ldots,\;x_{{n-1}})$
Transformación de Lorentz del plano pseudo-euclidiano con coordenadas con algunos , ${\ estilo de visualización (x_ {i}, \; x_ {n})}$ $yo<n$
reflexiones de la forma , [2] . $x_{i}\mapsto \pm x_{i}$ $i\en \{1,\;\ldots,\;n\}$

Transformaciones de Lorentz en física

Las transformaciones de Lorentz en física, en particular, en la teoría especial de la relatividad (SRT) , son las transformaciones que sufren las coordenadas espacio-temporales de cada evento al pasar de un marco de referencia inercial (ISR) a otro. De manera similar, las coordenadas de cualquier vector de 4 están sujetas a transformaciones de Lorentz en tal transición . $(x,\;y,\;z,\;t)$

Para distinguir claramente las transformaciones de Lorentz con corrimientos del origen y sin corrimientos, cuando sea necesario, se habla de transformaciones de Lorentz no homogéneas y homogéneas .

Las transformaciones de Lorentz de un espacio vectorial (es decir, sin desplazamientos del origen) forman el grupo de Lorentz , y las transformaciones de Lorentz de un espacio afín (es decir, con desplazamientos ) forman el grupo de Poincaré , también llamado grupo de Lorentz no homogéneo .

Desde un punto de vista matemático, las transformaciones de Lorentz son transformaciones que conservan inalterada la métrica de Minkowski , es decir, en particular, esta última conserva su forma más simple al pasar de un marco de referencia inercial a otro (es decir, las transformaciones de Lorentz son análogas para la métrica de Minkowski de transformaciones ortogonales, que realizan el paso de una base ortonormal a otra, es decir, un análogo de la rotación de los ejes de coordenadas para el espacio-tiempo). En matemáticas o física teórica, las transformaciones de Lorentz se pueden aplicar a cualquier dimensión espacial.

Son las transformaciones de Lorentz, que, a diferencia de las transformaciones de Galileo , mezclan las coordenadas espaciales y el tiempo, se convirtieron históricamente en la base para la formación del concepto de un espacio-tiempo único .

Cabe señalar que no solo las ecuaciones fundamentales son covariantes de Lorentz (como las ecuaciones de Maxwell que describen el campo electromagnético, la ecuación de Dirac que describe el electrón y otros fermiones), sino también ecuaciones macroscópicas como la ecuación de onda que describe (aproximadamente) sonido, vibraciones de cuerdas y membranas, y algunos otros (solo entonces, en las fórmulas para las transformaciones de Lorentz, por debe entenderse no la velocidad de la luz, sino alguna otra constante, por ejemplo, la velocidad del sonido). Por lo tanto, las transformaciones de Lorentz también pueden usarse fructíferamente en relación con tales ecuaciones (aunque en un sentido más bien formal, que, sin embargo, difiere poco, dentro de su propio marco, de su aplicación en la física fundamental). $C$

Tipo de transformaciones para ejes espaciales colineales (paralelos)

Si la IFR se mueve con respecto a la IFR con una velocidad constante a lo largo del eje y los orígenes de las coordenadas espaciales coinciden en el tiempo inicial en ambos sistemas, entonces las transformaciones de Lorentz (líneas rectas) tienen la forma: $K'$ $k$ $v$ $X$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

y'=y,\

z'=z,\

t'={\frac{t-(v/c^{2})x}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))},

donde es la velocidad de la luz , los valores con números primos se miden en el sistema , sin números primos - en . $C$ $K'$ $k$

Esta forma de transformación (es decir, al elegir ejes colineales), a veces denominada boost ( impulso en inglés ) o impulso de Lorentz (especialmente en la literatura en lengua inglesa), a pesar de su simplicidad, incluye, de hecho, todo el contenido físico específico de Lorentz. transformaciones, ya que los ejes espaciales siempre se pueden elegir de esta manera, y agregar rotaciones espaciales si se desea no es difícil (ver esto explícitamente ampliado a continuación), aunque hace que las fórmulas sean más engorrosas.

Las fórmulas que expresan la transformación inversa, es decir, expresando a través de , se pueden obtener simplemente reemplazando con (el valor absoluto de la velocidad relativa de movimiento de los marcos de referencia es el mismo al medirlo en ambos marcos de referencia, por lo tanto, si se desea, se puede proporcionar con un trazo, solo que al mismo tiempo es necesario controlar cuidadosamente que el signo y la definición se correspondan entre sí) y el reemplazo mutuo de "rayado" y "rayado". O resolviendo el sistema de ecuaciones (1) con respecto a . $x',\;y',\;z',\;t'$ $x,\;y,\;z,\;t$ $v$ $-v$ $|v|$ $v$ $X$ $t$ $x',\;y',\;z',\;t'$
Debe tenerse en cuenta que en la literatura, las transformaciones de Lorentz a menudo se escriben por simplicidad en el sistema de unidades, donde . $c=1$
Se puede observar que bajo las transformaciones de Lorentz, los eventos que son simultáneos en un marco de referencia no lo son en otro (relatividad de la simultaneidad). Además, un cuerpo en movimiento tiene un tamaño longitudinal reducido en comparación con el marco de referencia que lo acompaña ( contracción de Lorentz ), y un reloj en movimiento se ralentiza si se observa desde un marco de referencia "estacionario" ( dilatación del tiempo relativista ).

Salida de transformaciones

Las transformaciones de Lorentz se pueden obtener de forma abstracta, a partir de consideraciones de grupo (en este caso se obtienen con indefinido ), como una generalización de las transformaciones de Galileo (que fue realizada por Henri Poincaré , ver más abajo ). Sin embargo, por primera vez se obtuvieron como transformaciones con respecto a las cuales las ecuaciones de Maxwell son covariantes (es decir, de hecho, no cambian la forma de las leyes de la electrodinámica y la óptica al cambiar a otro marco de referencia). También se pueden obtener a partir de la suposición de linealidad de las transformaciones y el postulado de la misma velocidad de la luz en todos los marcos de referencia (que es una formulación simplificada del requisito de la covarianza de la electrodinámica con respecto a las transformaciones deseadas, y la extensión del principio de igualdad de los marcos de referencia inerciales -el principio de la relatividad- a la electrodinámica ), como se hace en la teoría de la relatividad especial (SRT) (al mismo tiempo, en las transformaciones de Lorentz, resulta ser definida y coincide con la velocidad de la luz ). $C$ $C$

Cabe señalar que si la clase de transformaciones de coordenadas no se limita a las lineales, entonces la primera ley de Newton es válida no solo para las transformaciones de Lorentz, sino también para una clase más amplia de transformaciones lineales fraccionarias [3] (sin embargo, esta clase más amplia de transformaciones es, por supuesto, excepto por el caso especial de transformaciones de Lorentz - no mantiene la métrica constante).

Diferentes formas de notación de transformaciones

Tipo de transformaciones para orientación arbitraria de los ejes

Debido a la arbitrariedad de la introducción de ejes de coordenadas, muchos problemas pueden reducirse al caso anterior. Si el problema requiere una disposición diferente de los ejes, puede usar las fórmulas de transformación en un caso más general. Para ello, el radio vector del punto

{\mathbf {r}}'={\mathbf {i}}x'+{\mathbf {j}}y'+{\mathbf {k}}z',

donde están los orts , hay que dividirlo en una componente paralela a la velocidad y una componente perpendicular a ella: ${\mathbf {i)],\;{\mathbf {j)],\;{\mathbf {k))$ ${\mathbf {r))'_{\|}$ ${\mathbf {r))'_{\perp}$

{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {r}}'_{\perp}.

Entonces las transformaciones tomarán la forma

{\mathbf {r}}_{\|}={\frac {{\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {v}}t'}{{\sqrt {1-v^ {2}/c^{2}}}}),\quad {\mathbf {r}}_{\perp }={\mathbf {r}}'_{\perp },\quad t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},

donde es el valor absoluto de la velocidad, es el valor absoluto de la componente longitudinal del radio vector. $v=\izquierda|{\mathbf {v}}\derecha|$ $r_{\|}=\izquierda|{\mathbf {r}}_{\|}\derecha|$

Estas fórmulas para el caso de ejes paralelos, pero con una velocidad dirigida arbitrariamente, se pueden convertir a la forma obtenida por primera vez por Herglotz :

\mathbf {r} ={\frac {\mathbf {r} '+\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))+{ \frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)(\mathbf {r} '\veces \mathbf {v} )\veces \mathbf {v} ;

t={\frac {t'+\mathbf {r'v} /c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

donde es el producto cruz de vectores tridimensionales. Tenga en cuenta que el caso más general, cuando los orígenes no coinciden en el momento cero, no se proporciona aquí para ahorrar espacio. Se puede obtener sumando traslación (desplazamiento del origen) a las transformaciones de Lorentz. $\veces$

Transformaciones de Lorentz en forma matricial

Para el caso de ejes colineales, las transformaciones de Lorentz se escriben como

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {v}{c)) \gamma &0&0\\-{\dfrac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\ \z\end{bmatriz}},

donde esta el factor de lorentz $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.$

Con orientación arbitraria de los ejes, en forma de 4 vectores, esta transformación se escribe como:

{\begin{bmatrix}ct'\\{\vec {r}}\,'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {\vec {v}} {c}}\gamma \\-{\dfrac {\vec {v}}{c}}\gamma &I+{\dfrac ({\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}{v^ {2}}}(\gamma -1)\end{bmatriz}}{\begin{bmatriz}ct\\{\vec {r}}\end{bmatriz}},

donde - matriz identidad - multiplicación tensorial de vectores tridimensionales. $yo$ $3\veces 3,$ $\otimes$

O, lo que es lo mismo,

{\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x }&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\ gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_ {x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1 )n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\\\end{bmatriz}}{\begin {bmatriz}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatriz}}

Dónde ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}};\beta =|{\vec {\beta }}|;n_{x}={\frac { \beta _{x)){\beta ));n_{y}={\frac {\beta _{y)){\beta ));n_{z}={\frac {\beta _{z} {\beta}}$

Conclusión método número 1

La matriz de transformación se obtiene de la fórmula $B$

B(\mathbf {v} )=I-\gamma \beta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\gamma -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf { K} )^{2}

o cuando está parametrizado por la velocidad $\zeta$

B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}

donde n K = n x K x + n y K y + n z K z , donde

K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\ \0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}),

que es similar a la fórmula de Rodrigues

Conclusión método número 2

Una transformación de Lorentz homogénea arbitraria se puede representar como una cierta composición de rotaciones espaciales y transformaciones de Lorentz elementales que afectan solo al tiempo y a una de las coordenadas. Esto se sigue del teorema algebraico sobre la descomposición de una rotación arbitraria en rotaciones simples. Además, es físicamente obvio que para obtener una transformación de Lorentz homogénea arbitraria, uno puede usar solo una de esas transformaciones elementales y dos rotaciones del espacio tridimensional (la primera para ir a ejes espaciales especiales - desde x a lo largo de V , y la segundo para volver a los originales), técnicamente el cálculo de tal composición se reducirá a la multiplicación de tres matrices.

Propiedades de las transformaciones de Lorentz

Se puede ver que en el caso de que las transformaciones de Lorentz entren en las transformaciones de Galileo . Lo mismo sucede cuando dice que la relatividad especial coincide con la mecánica newtoniana ya sea en un mundo con una velocidad infinita de la luz, oa velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Este último explica cómo se combinan estas dos teorías: la primera es una generalización y un refinamiento de la segunda, y la segunda es el caso límite de la primera, permaneciendo en esta capacidad aproximadamente correcta (con cierta precisión, en la práctica a menudo muy, muy alta). ) para una velocidad de movimiento suficientemente pequeña (en comparación con la velocidad de la luz). $c\a\infty ,$ $v/c\a 0.$
Las transformaciones de Lorentz mantienen el intervalo invariable para cualquier par de eventos (puntos de espacio-tiempo), es decir, cualquier par de puntos de espacio-tiempo de Minkowski:

s={\sqrt {c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2} }}={\sqrt {c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z' )^{2}}}.

Es fácil verificar esto, por ejemplo, verificando explícitamente que la matriz de transformación de Lorentz es ortogonal en el sentido de la métrica de Minkowski: $L$

\eta _{{ik}}=\left[{\begin{matriz}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matriz}}\right],

definido por tal expresión, es decir, es más fácil de hacer para impulso, y para rotaciones tridimensionales es obvio a partir de la definición de coordenadas cartesianas, además, los cambios del origen no cambian las diferencias en las coordenadas. Por lo tanto, esta propiedad también se cumple para cualquier composición de impulsos, rotaciones y desplazamientos, que es el grupo completo de Poincaré; una vez que sabemos que las transformaciones de coordenadas son ortogonales , se sigue inmediatamente que la fórmula para la distancia permanece sin cambios cuando se cambia a un nuevo sistema de coordenadas, según la definición de transformaciones ortogonales. $\sum_{i,\;k}L_{j}^{i}\eta_{ik}L_{m}^{k}=\eta_{jm}.$

En particular, la invariancia del intervalo también tiene lugar para el caso, lo que significa que la hipersuperficie en el espacio-tiempo, que está determinada por la igualdad a cero del intervalo a un punto dado, el cono de luz , se fija bajo transformaciones de Lorentz. (que es una manifestación de la invariancia de la velocidad de la luz). El interior de las dos cavidades del cono corresponde a intervalos temporales , reales , desde sus puntas hasta la parte superior, la región exterior, a espaciales , puramente imaginarios (en la firma de intervalo adoptada en este artículo). $s = 0,$
Otras hipersuperficies invariantes de transformaciones de Lorentz homogéneas (análogos de una esfera para el espacio de Minkowski) son los hiperboloides: un hiperboloide de dos hojas para intervalos temporales en relación con el origen y un hiperboloide de una sola hoja para intervalos espaciales.
La matriz de transformación de Lorentz para ejes espaciales colineales (en unidades ) se puede representar como: $c=1$ ${\begin{bmatrix}{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &-{\mathop {{\rm {sh))))\,\theta &0&0\\-{\mathop { {\rm {sh))))\,\theta &{\mahop {{\rm {ch))))\,\theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix)),$

donde _ Es fácil verificar esto teniendo en cuenta y comprobando la validez de la identidad correspondiente para la matriz de transformación de Lorentz en la forma habitual. $\theta ={\mahop {{\rm {Arth}}}}\,(v/c)\$ ${\rm {ch^{2}\,\theta -{\rm {sh^{2}\,\theta =1\ ))))$

Si aceptamos la notación introducida por Minkowski , entonces la transformación de Lorentz para tal espacio se reduce a una rotación a través de un ángulo imaginario en el plano que incluye el eje (para el caso de movimiento a lo largo del eje , en el plano ). Esto es obvio al sustituir en la matriz justo arriba, y modificarla ligeramente para tener en cuenta la coordenada de tiempo imaginario que se está introduciendo, y compararla con la matriz de rotación habitual. $x_{0}=i\,ct,\;x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\$ $x_{0}\$ $x_{1}\$ $x_{0}x_{1}$ ${\mathop {{\rm {ch))))\,\theta ={\mathop {{\rm {cos))))\,(i\,\theta ),\;{\mathop {{\rm {sh}}}}\,\theta =-i\,{\mahop {{\rm {sin}}}}\,(i\theta )$

Consecuencias de las transformaciones de Lorentz

Cambio de longitud

Deje que la barra descanse en el marco de referencia y las coordenadas de su inicio y final sean iguales a , . Para determinar la longitud de la varilla en el sistema, se fijan las coordenadas de los mismos puntos en el mismo tiempo del sistema . Sea la longitud propia de la varilla en , y sea la longitud de la varilla en . Entonces de las transformaciones de Lorentz se sigue: $K'$ ${\ estilo de visualización x_ {1}'}$ ${\ estilo de visualización x_ {2}'}$ $k$ $k$ $l_{0}=x_{2}'-x_{1}'$ $K'$ ${\ estilo de visualización l = x_{2}-x_{1))$ $k$

l_{0}=x'_{2}-x'_{1}={\frac {x_{2}-vt}({\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^ {2}}}}}}}-{\frac {x_{1}-vt}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ={\frac {x_{2}-x_{1}}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

Así, la longitud de la barra en movimiento, medida por observadores "estacionarios", resulta ser menor que la longitud propia de la barra.

Relatividad de la Simultaneidad

Si dos eventos separados en el espacio (por ejemplo, destellos de luz) ocurren simultáneamente en un marco de referencia en movimiento, entonces no serán simultáneos con respecto al marco "fijo". Cuando de las transformaciones de Lorentz se sigue: $\Delta t'=0$

Si , entonces y . Esto significa que, desde el punto de vista de un observador estacionario, el evento de la izquierda ocurre antes que el de la derecha ( ). La relatividad de la simultaneidad conduce a la imposibilidad de sincronizar relojes en diferentes marcos de referencia inerciales a lo largo del espacio. $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $t_{2}>t_{1}$

Supongamos que en dos sistemas de referencia, a lo largo del eje , hay relojes sincronizados en cada sistema, y en el momento de la coincidencia del reloj "central" (en la figura a continuación), muestran la misma hora. La figura de la izquierda muestra cómo se ve esta situación desde el punto de vista de un observador en el sistema . Los relojes en un marco de referencia en movimiento muestran diferentes tiempos. Los relojes en la dirección del movimiento están atrasados, y aquellos en la dirección opuesta al movimiento están adelantados al reloj "central". La situación es similar para los observadores en (figura derecha). $X$ $S$ $S'$

Dilatación del tiempo para cuerpos en movimiento

Definiciones relacionadas

La invariancia de Lorentz es la propiedad de las leyes físicas de escribirse de la misma manera en todos los marcos de referencia inerciales (teniendo en cuenta las transformaciones de Lorentz). En general, se acepta que todas las leyes físicas deben tener esta propiedad y no se han encontrado desviaciones experimentales de ella. Sin embargo, algunas teorías hasta ahora no han podido construirse de tal manera que se satisfaga la invariancia de Lorentz.

Historia

Este tipo de transformación, por sugerencia de A. Poincaré , lleva el nombre del físico holandés H. A. Lorentz , quien en una serie de obras (1892, 1895, 1899) publicó su versión aproximada (hasta términos de orden ). Los historiadores de la física posteriores descubrieron que estas transformaciones habían sido publicadas de forma independiente por otros físicos: $v^{2}/c^{2}$

1887: W. Vogt , mientras investigaba el efecto Doppler [4] [5] .
1897: J. Larmor , su objetivo era descubrir transformaciones bajo las cuales las ecuaciones de Maxwell son invariantes [6] .

Lorentz estudió la relación entre los parámetros de dos procesos electromagnéticos , uno de los cuales es estacionario en relación con el éter y el otro se mueve [7] .

A. Poincaré (1900) y A. Einstein (1905) [8] dieron un aspecto y comprensión modernos a las fórmulas de transformación . Poincaré fue el primero en establecer y estudiar en detalle una de las propiedades más importantes de las transformaciones de Lorentz: su estructura de grupo , y demostró que "las transformaciones de Lorentz no son más que una rotación en el espacio de cuatro dimensiones, cuyos puntos tienen coordenadas ". $(x,\;y,\;z,\;it)$ [9] . Poincaré introdujo los términos "transformaciones de Lorentz" y " grupo de Lorentz " y mostró, basándose en el modelo etéreo, la imposibilidad de detectar movimiento relativo al marco de referencia absoluto (es decir, el marco en el que el éter está estacionario), modificando así el principio de relatividad de Galileo [8] .

Einstein en su teoría de la relatividad (1905) extendió las transformaciones de Lorentz a todos los procesos físicos (no solo electromagnéticos) y señaló que todas las leyes físicas deben ser invariantes bajo estas transformaciones. Hermann Minkowski descubrió el modelo geométrico tetradimensional de la cinemática de la teoría de la relatividad, donde las transformaciones de Lorentz desempeñan el papel de rotación de coordenadas .

En 1910, V. S. Ignatovsky fue el primero en intentar obtener la transformación de Lorentz sobre la base de la teoría de grupos y sin utilizar el postulado de la constancia de la velocidad de la luz [10] .

Véase también

Movimiento compuesto (fórmula de transformación de velocidad consistente con las transformaciones de Lorentz)
Precesión de Tomás
grupo lorentz

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. VII, § 8. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Petrovski I. G. Conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales. - cap. II, § 14. - Cualquier edición.
↑ Frank F., Rote G. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme Archivado el 29 de agosto de 2014 en Wayback Machine // Ann. der Physic, Ser. 4, vol. 34, núm. 5, 1911, págs. 825-855 (traducción al ruso) (Artículo en el que se señaló por primera vez que las transformaciones lineales-fraccionales son las transformaciones más generales que son consistentes con el principio de relatividad).
↑ Molinero (1981), 114-115
↑ País (1982), Cap. 6b
↑ J. Larmor. Sobre una Teoría Dinámica del Medio Eléctrico y Luminífero, Parte 3, Relaciones con los medios materiales . - 1897. - T. 190. - S. 205-300.
↑ Vizgin V. P., Kobzarev I. Yu. , Yavelov V. E. Trabajo científico y vida de Albert Einstein: una reseña del libro de A. Pais // Colección Einstein, 1984-1985. - M. : Nauka, 1988. - S. 314 . — ISBN 5-02-000006-X .
↑ 1 2 Kudryavtsev P. S. Un curso de historia de la física en tres volúmenes. - M. : Educación, 1974. - T. 3. - S. 46.
↑ Poincare A. Sobre la dinámica del electrón. // El principio de la relatividad : Sat. obras de los clasicos del relativismo. - M .: Atomizdat , 1973. - p. 90-93, 118-160.
↑ "Algunas observaciones generales sobre el principio de la relatividad" Copia archivada del 2 de julio de 2017 en el Informe de Wayback Machine en la reunión general del departamento matemático y físico de la 82.ª reunión de naturalistas y médicos alemanes en Königsberg el 21 de septiembre de 1910;
von Wv Ignatowsky, "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip", Verh. d. Alemán. física Ges. 12, 788-96, 1910 (traducción al ruso)

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Enciclopedia física, volumen 2 - M .: Great Russian Encyclopedia página 608 Archivado el 2 de marzo de 2012 en Wayback Machine y página 609 Archivado el 14 de abril de 2004 en Wayback Machine .
Grupo Fedorov F. I. Lorentz. — M .: Nauka , 1979. — 384 p.
Gel'fand I. M., Minlos R. A., Shapiro Z. Ya. Representación del grupo de rotación y el grupo de Lorentz. M, 1958.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. — M.: Fizmatlit, 2009.

Enlaces

Transformaciones de Lorentz Archivado el 25 de agosto de 2021 en Wayback Machine en The Relativistic World Archivado el 23 de agosto de 2021 en Wayback Machine .

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