Signos de igualdad de triángulos (teorema)

Las pruebas para la igualdad de triángulos son uno de los teoremas básicos de la geometría.

Un triángulo en el plano euclidiano puede definirse únicamente (hasta la congruencia ) por los siguientes tripletes de elementos básicos: [1]

$a$ , , (igualdad en dos lados y el ángulo entre ellos); $b$ $\gama$
$a$ , , (igualdad en el lado y dos ángulos adyacentes); $\beta$ $\gama$
$a$ , , (igualdad en tres lados). $b$ $C$

Hay características para los triángulos rectángulos , algunas de las cuales son excepcionales:

a lo largo del cateto y la hipotenusa (es decir, en el caso de un triángulo rectángulo, no es necesario que un ángulo conocido (es decir, una línea recta) se encuentre entre los lados conocidos);
en dos piernas;
a lo largo de la pierna y ángulo agudo;
hipotenusa y ángulo agudo.

Un signo adicional: los triángulos son iguales si tienen dos lados y un ángulo opuesto al mayor de estos lados [2] .

En la geometría esférica y en la geometría de Lobachevsky hay un signo de que los triángulos son iguales en tres ángulos.

El signo de igualdad en dos lados y el ángulo entre ellos

Evidencia clásica del currículo escolar

Teorema: si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, en un triángulo, respectivamente, son iguales a dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, en otro triángulo, entonces tales triángulos son iguales .

Dado: Demostrar: Prueba: Superponer con para que el punto caiga sobre y el lado coincida con . Entonces, por la igualdad de estos lados, el punto coincidirá con a por la igualdad de ángulos y el lado coincidirá con , y, a su vez, por la igualdad de estos lados, el punto coincidirá con , por lo que el lado coincidirá con (ya que dos puntos solo pueden estar conectados por una línea recta) . Entonces los triángulos coinciden, lo que significa que son iguales. $AB=A_{1}B_{1},\quad AC=A_{1}C_{1},\quad \angle A=\angle A_{1}.$

${\ estilo de visualización \ triángulo ABC = \ triángulo A1B1C1.}$

$\Delta ABC$ ${\displaystyle\Delta A_{1}B_{1}C_{1}}$ $A$ $A_{1}$ $C.A.$ ${\ estilo de visualización A_ {1} C_ {1}}$ $C$ $C_{1},$ $A$ $A_{1}$ ${\ estilo de visualización A_ {1} B_ {1}}$ ${\ estilo de visualización A_ {1} B_ {1}}$ $B$ $B_1$ ${\ estilo de visualización CB}$ ${\ estilo de visualización C_ {1} B_ {1}}$

Nota

El requisito de que el ángulo esté entre los lados es esencial, porque si el ángulo conocido, por el contrario, está opuesto al lado conocido, entonces otro ángulo desconocido, que está opuesto al resto del lado conocido, puede determinarse ambiguamente por el Teorema del seno : si el seno del ángulo es igual a algún valor, entonces el seno del contiguo también lo es.

El signo de igualdad en dos ángulos y el lado entre ellos

Evidencia clásica del currículo escolar

Teorema: si dos ángulos y el lado contiguo a ellos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos y el lado contiguo a ellos de otro triángulo, entonces tales triángulos son iguales .

Dado: Demostrar: Prueba: $BC=B_{1}C_{1},\quad \angle C=\angle C_{1},\angle B=\angle B_{1}.$

${\ estilo de visualización \ triángulo ABC = \ triángulo A1B1C1}$

Nota

A diferencia del primer criterio, el segundo criterio se puede reformular para que ambos ángulos conocidos no sean adyacentes a un lado conocido, y gracias al teorema de la suma de ángulos, el criterio de igualdad sigue siendo cierto.

Signo de igualdad en tres lados

Notas

↑ Geometría según Kiselyov . Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine , § 41.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 219.

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. — M .: Nauka, 1978.

Véase también

Signos de semejanza de triángulos