Triángulo rectángulo

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Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que un ángulo es recto (es decir, 90 grados ).

Las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo están en el corazón de la trigonometría .

Definiciones relacionadas

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado c en la figura de arriba).
Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos . El lado a puede identificarse como adyacente al ángulo B y opuesto al ángulo A , y el lado b como adyacente al ángulo A y opuesto al ángulo B.

Tipos de triángulos rectángulos

Si los catetos son iguales, entonces el triángulo se llama triángulo rectángulo isósceles .
Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números naturales, entonces el triángulo se llama triángulo pitagórico , y las longitudes de sus lados forman la llamada terna pitagórica .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos

Según dos catetos: si los catetos de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a los catetos de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos son congruentes. Este signo se sigue inmediatamente del primer signo de igualdad del triángulo , ya que dos triángulos tendrán dos catetos y un ángulo recto igual.

Según el cateto y el ángulo agudo adyacente: si el cateto y el ángulo agudo adyacente a él de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales al cateto y al ángulo agudo adyacente a él de otro triángulo rectángulo, entonces tales triángulos son iguales Este signo se sigue inmediatamente del segundo signo de la igualdad de triángulos, ya que dos triángulos tendrán un cateto, un ángulo contiguo y un ángulo recto.

Por hipotenusa y ángulo agudo: si la hipotenusa y el ángulo agudo de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a la hipotenusa y el ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces tales triángulos son congruentes. Este signo se sigue del segundo signo de igualdad de los triángulos, ya que los segundos ángulos agudos serán iguales según el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo , y las hipotenusas y dos ángulos adyacentes a ella serán iguales para los triángulos.

Por hipotenusa y cateto: si la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos son congruentes. Probaremos este signo de la siguiente manera. Superponemos dos triángulos entre sí para obtener un triángulo isósceles, es decir, los combinamos con catetos iguales para que los ángulos que se encuentran en estos catetos estén en diferentes planos. Como las hipotenusas son iguales, el triángulo resultante es isósceles, entonces los ángulos en la base son iguales. Entonces dos triángulos rectángulos serán iguales en hipotenusa y ángulo agudo.

Según el cateto y el ángulo agudo opuesto : si el cateto y el ángulo agudo opuesto de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales al cateto y al ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces tales triángulos son congruentes. Este signo se demuestra de la siguiente manera: si uno de los ángulos agudos del primer triángulo es igual al ángulo agudo del segundo triángulo, entonces el segundo ángulo agudo será conocido por el teorema de la suma de los ángulos del triángulo. Dado que el segundo ángulo agudo es adyacente al cateto, la igualdad de los triángulos se demostrará más de acuerdo con el teorema anterior.

Propiedades

Además, suponemos que tanto la longitud de los catetos como la longitud de la hipotenusa $a$ $b$ $C$

( teorema de Pitágoras ) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus dos catetos. Eso es, $S={\tfrac{1}{2}}ab.$

Para medianas , y se cumple la siguiente relación: $mamá}$ $megabyte}$ $m_{c}$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.$
- En particular, la mediana que cae sobre la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

Altura

Si la altura se dibuja a la hipotenusa, entonces el triángulo se divide en dos triángulos más pequeños similares al original y similares entre sí. De esto se deduce que en la notación que se muestra en el diagrama: [1]

La altura es la media geométrica (media proporcional) de los dos segmentos de la hipotenusa formados por ella, es decir

\displaystyle f^{2}=de,

(a veces llamado el teorema de la altura del triángulo rectángulo )

Cada cateto del triángulo es la media geométrica de la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la hipotenusa, es decir

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

En un triángulo rectángulo, la altura caída desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa divide a la hipotenusa en la misma proporción que los cuadrados de los catetos adyacentes, es decir

\displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},

Además, la altura caída a la hipotenusa está relacionada con los catetos de un triángulo rectángulo por la relación: [2] [3]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

f={\frac{ab}{c}}.

Además, si un triángulo rectángulo es isósceles , entonces la altura caída a la hipotenusa será igual a:

f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2)))

, donde es el radio de la circunferencia inscrita, y es la sección plateada .

r

\delta _{S}

Características

El triángulo ABC con lados a, b, c (donde c es el lado más largo), con un círculo circunscrito de radio R es un triángulo rectángulo si y solo si cualquiera de los siguientes es cierto: [4]

$c=2R$ , es decir, uno de los lados es el diámetro de la circunferencia circunscrita ,
$\sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2$ ,
$\cos^{2}{A}+\cos^{2}{B}+\cos^{2}{C}=1$ ,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$ ,
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (teorema inverso de Pitágoras),
$a+b=2(R+r)$ , es decir, la suma de los dos lados es igual al doble de la suma de los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita,
el círculo circunscrito es tangente al círculo de nueve puntos .

Relaciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas para ángulos agudos se pueden definir como la relación de los lados de un triángulo rectángulo. Para cualquier ángulo dado, es posible construir un triángulo rectángulo que contenga dicho ángulo, y con lados: el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa, relacionados con este ángulo por las relaciones definidas anteriormente. Estas proporciones de lados no dependen del triángulo rectángulo específico elegido, sino solo del ángulo dado, ya que todos los triángulos construidos de esta manera son similares . Si para un ángulo α dado, el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa se denotan por a , b y c , respectivamente, entonces las funciones trigonométricas tienen la forma:

\sin \alpha ={\frac {a}{c)),\,\cos \alpha ={\frac {b}{c)),\,\operatorname {tg} \alpha ={\frac {a} {b)),\,\nombre del operador {ctg} \alpha ={\frac {b}{a)),\sec \alpha ={\frac {c}{b)),\,\,\csc \alpha ={\frac{c}{a}}.

Y por lo tanto:

El cateto opuesto al ángulo es igual al producto de la hipotenusa y el seno de este ángulo

a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .

El cateto adyacente a un ángulo es igual al producto de la hipotenusa y el coseno de este ángulo

a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .

El cateto opuesto al ángulo es igual al producto del segundo cateto por la tangente del ángulo

a=b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operatorname {tg} \beta .

El cateto adyacente al ángulo es igual al producto del segundo cateto y la cotangente del ángulo

a=b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operatorname {ctg} \alpha .

La hipotenusa es igual a la razón del cateto al seno del ángulo opuesto, y/o a la razón parcial del cateto y el coseno del ángulo incluido (el ángulo entre ellos)

c={\frac {a}{\sin \alpha}}={\frac {b}{\sin \beta}}={\frac {a}{\cos \beta}}={\frac {b} {\ cos \ alfa}}.

Triángulos rectángulos especiales

Los valores de las funciones trigonométricas se pueden estimar con precisión para ciertos ángulos usando triángulos rectángulos con valores de ángulo específicos. Tales triángulos incluyen el triángulo 30-60-90 , que se puede usar para evaluar funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de π/6, y el triángulo 45-45-90 ( triángulo rectángulo isósceles ), que se puede usar para evaluar funciones trigonométricas para múltiplos de π/4. En particular,

Un cateto opuesto a un ángulo agudo de 30° (y, en consecuencia, adyacente a un ángulo de 60°) es igual a la mitad de la hipotenusa.

Teorema de Tales

El teorema de Tales establece que si cualquier punto A se encuentra en un círculo de diámetro BC (excluyendo los puntos B y C ), entonces △ ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo A recto . La afirmación inversa es esta: si un triángulo rectángulo está inscrito en un círculo, entonces la hipotenusa será su diámetro. La consecuencia es que la longitud de la hipotenusa es el doble de la distancia desde el vértice del ángulo recto hasta el punto medio de la hipotenusa. También es cierto que el centro del círculo que describe un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa, y su radio es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Otras propiedades

El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c es:

r={\frac{a+bc}{2}}={\frac{ab}{a+b+c}}.

Si los segmentos de longitud pyq que parten del vértice C dividen la hipotenusa en tres segmentos iguales de longitud c /3, entonces: [5] :pp. 216-217

p^{2}+q^{2}=5\izquierda({\frac {c}{3}}\derecha)^{2}.

Un triángulo rectángulo es el único triángulo con dos, no tres, cuadrados inscritos distintos. [6]

Sean h y s ( h > s ) los lados de dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa c . Después:

{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.

El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de dos radios de los cuatro círculos inscritos y cuatro circunscritos:

${\ estilo de visualización P = 2r + 4R}$

Si se dan S y r , entonces los lados del triángulo se encuentran mediante las fórmulas:

a={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}-{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} {r^{2}}}}}}\derecho)

b={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}+{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} {r^{2}}}}}}\derecho)

c={\frac{S}{r}}-r

Otra proporción importante:

a={\frac {l_{b}}{4c}}\,\left({l_{b}+{\sqrt {8\,c^{2}+l_{b}^{2} }}}\Correcto)\,\,\,

, donde es la longitud de la bisectriz que emana del ángulo agudo B, c es la hipotenusa.

{\ estilo de visualización l_ {b} \,}

En todos los triángulos rectángulos, la mediana dejada caer por la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa.

El círculo de nueve puntas toca el círculo circunscrito del mismo triángulo en el único caso si el triángulo es rectángulo. En este caso, la tangencia de dos círculos va en el vértice del ángulo recto del triángulo.

Variaciones y generalizaciones

Cuadriláteros con pares de elementos perpendiculares : con 2 lados perpendiculares y con 2 diagonales perpendiculares, degeneran en un triángulo rectángulo si la longitud de un lado deseado (de sus 4 lados), se encuentra cerca de un ángulo recto o apoya sus extremos en este ángulo, tiende a cero.

Si se dibuja un segmento en un triángulo rectángulo paralelo a su hipotenusa, entonces corta este triángulo en un triángulo rectángulo similar y un trapezoide . En este caso, la suma de los ángulos en una de las bases del trapecio será igual a 90 °, y las extensiones de los lados del trapezoide se cortarán en ángulo recto. Entonces el segmento que une los puntos medios de las bases del trapezoide indicado es igual a la semidiferencia de las bases. Esta afirmación generaliza la propiedad: la mediana de un triángulo rectángulo caído desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Notas

↑ Wentworth pág. 156
↑ Voles, Roger, "Soluciones enteras de ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269-271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
↑ Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313-317.
↑ Andreescu, Titu y Andrica, Dorian, "Números complejos de la A a la... Z", Birkhäuser, 2006, págs. 109-110.
↑ Posamentier, Alfred S. y Salkind, Charles T. Problemas desafiantes en geometría , Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert y DeTemple, Duane, "Cuadrados inscritos en ángulos y triángulos", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

Enlaces

Calculadora para triángulos rectángulos
Weisstein, Eric W. Right Triangle (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Wentworth, GA Un libro de texto de geometría (indefinido) . —Ginn & Co., 1895.

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)

polígonos

Por número de lados

monógono
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Cuarenta bicagón
pentecostal
pentecostal
Hexágono
Sesenta y cuatro
heptágono
octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider