Teorema del seno

El teorema del seno es un teorema que establece la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y la magnitud de los ángulos opuestos a ellos . Hay dos versiones del teorema; el teorema usual del seno :

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

{\frac {a}{\sin \alpha}}={\frac {b}{\sin \beta}}={\frac {c}{\sin \gamma}}

y el teorema del seno extendido :

Para un triángulo arbitrario

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,

donde , , son los lados del triángulo, son los ángulos opuestos a ellos, respectivamente, y es el radio del círculo que circunscribe el triángulo. $a$ $b$ $C$ $\alfa,\beta,\gamma$ $R$

Evidencia

Prueba del teorema usual del seno

Usamos solo la definición de la altura del triángulo, bajada al lado b , y el seno para dos ángulos: $media pensión$

h_b=a \sin \gamma= c \sin \alpha

. Por lo tanto, , lo que debía probarse. Repitiendo el mismo razonamiento para los otros dos lados del triángulo, obtenemos la versión final del teorema habitual del seno. ∎

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}

Demostración del teorema del seno extendido

Prueba

Basta probar que

{\frac{a}{\sin \alpha}}=2R.

Dibuja un diámetro para el círculo circunscrito. De acuerdo con la propiedad de los ángulos inscritos en un círculo, el ángulo es recto y el ángulo es igual si los puntos y están en el mismo lado de la línea , o de otra manera. Ya que en ambos casos obtenemos $|BG|$ $GCB$ $CGB$ $\alfa$ $A$ $GRAMO$ $antes de Cristo$ $\pi-\alfa$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$

a=2R\sin\alfa

Repitiendo el mismo razonamiento para los otros dos lados del triángulo, obtenemos:

{\frac {a}{\sin \alpha}}={\frac {b}{\sin \beta}}={\frac {c}{\sin \gamma}}=2R.

∎ Prueba a través de fórmulas para encontrar el área de un triángulo.

Tomemos dos fórmulas para encontrar el área de un triángulo y $S={\frac{abc}{4R))$ $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\ frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow { \begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}= \sin \alpha \end{casos}}\Leftrightarrow {\begin{casos}2R={\frac {c}{\sin \gamma}}\\2R={\frac {b}{\sin \beta}} \\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta ))={\frac {c}{\sin \gamma )).$ ∎

Variaciones y generalizaciones

En un triángulo, el lado mayor se encuentra frente al ángulo mayor y el ángulo mayor se encuentra frente al lado mayor.

en el símplex

V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}} }{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot\sin {A_{i,j}},

donde es el ángulo entre las caras y ; es una cara común y ; es el volumen del símplex. ${\ Displaystyle A_ {i, j}}$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ ${\displaystyle V_{n-2}^{i,j))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ $V_{n}$

Historia

En el primer capítulo del Almagesto (alrededor del año 140 d. C.), se utiliza el teorema del seno, pero no se establece explícitamente [1] .
La demostración más antigua del teorema de los senos en el plano que nos ha llegado está descrita en el libro de Nasir ad-Din At-Tusi "Tratado sobre el cuadrilátero completo" escrito en el siglo XIII [2] .
El teorema del seno para un triángulo esférico fue probado por matemáticos del Oriente medieval ya en el siglo X [3] . El trabajo del siglo XI de Al-Jayani "El libro de los arcos desconocidos de la esfera" proporcionó una prueba general del teorema del seno en la esfera [4] .

Variaciones y generalizaciones

Teorema del seno esférico
En el plano de Lobachevsky con curvatura, el teorema del seno toma la siguiente forma: $-una$ ${\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C }{\matemáticas {sh} \,c}}.$

Notas

↑ Florián Cajori. Una historia de las matemáticas (inglés) . — 5ª edición. - 1991. - Pág. 47.
↑ Berggren, J. Lennart. Matemáticas en el Islam medieval // Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta . - Princeton University Press , 2007. - P. 518. - ISBN 9780691114859 .
↑ Sesiano solo menciona a al-Wafa como colaborador. Sesiano, Jacques (2000). "Matemáticas islámicas", págs. 137. — Página 157, en Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer , ISBN 1402002602
↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani . Consultado el 24 de agosto de 2011. Archivado desde el original el 29 de mayo de 2016. (indefinido)

diccionarios y enciclopedias	lituano universal Britannica (en línea)

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
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