Principio de Harnack

El principio de Harnack ( segundo teorema de Harnack ) es un teorema sobre las propiedades de una secuencia monótona de funciones que son armónicas en un dominio acotado, extendiendo la convergencia en un cierto punto a la convergencia en todo el dominio. Establecido por el matemático alemán Axel Harnack en 1886 .

Formalmente, sean funciones armónicas positivas en algún dominio; si fila: $v_{n}(z)$ $D$

\sum _{n=1}^{\infty}v_{n}(z)

converge al menos en un punto del dominio , luego converge uniformemente en el interior . $D$ $D$

Prueba

Sea un círculo con centro en y radio , ubicado en . Multiplicando la desigualdad , donde , por , e integrando dentro del rango de a , obtenemos , de donde se sigue que si la serie converge en un punto, entonces converge en cada punto dentro de . Sea una cadena de círculos que se encuentran en y tal que el punto de convergencia es el centro del círculo , el centro de cada uno se encuentra dentro , se encuentra dentro , donde es un punto elegido arbitrariamente en . En un punto , en virtud de lo anterior, la serie resulta ser convergente, pero - cualquier punto en , por lo tanto, la serie converge en la región . Sea un círculo arbitrario con centro y radio , que se encuentra en , sea un círculo concéntrico de mayor radio , que también se encuentra en . Multiplicando la desigualdad , donde , por , e integrando dentro de los límites de a , obtenemos , por lo tanto, la serie se mayoriza en el círculo por una serie numérica convergente y, por lo tanto, converge uniformemente en , pero - cualquier círculo en , por lo tanto , la serie converge uniformemente dentro de . $k$ $z_{0}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+r {R}}$ $0\leq r<R$ ${\frac{1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alfa$ $-\Pi$ $\Pi$ $v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+r}{Rr}}v_{{n}}(z_{{0} })$ $z_{0}$ $\sum _{{1}}^{\infty}v_{{n}}(z)$ $k$ $K_{{1}},K_{{2}},...,K_{{m}}$ $D$ $z_{0}$ $K_{1}$ $K_{{j}}(1<j\leqm)$ $K_{{j-1}}$ $Z$ $K_{m}$ $Z$ $D$ $Z$ $\sum _{{1}}^{\infty}v_{{n}}$ $Z$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty}v_{{n}}$ $D$ $k$ $z_{1}$ $\rho$ $D$ $\sobrelínea {K}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+\rho {R-\rho}}$ $0\leq r<\rho$ ${\frac{1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alfa$ $-\Pi$ $\Pi$ $v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{ {una}})$ $0\leq r<\rho$ $\sum _{{1}}^{\infty}v_{{n}}(z)$ $k$ $\sum _{{1}}^{\infty }{\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{{1}})$ $k$ $k$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty}v_{{n}}(z)$ $D$

Consecuencia

Si una secuencia creciente o decreciente de funciones armónicas en algún dominio converge al menos en un punto de ese dominio, entonces converge uniformemente dentro de . $D$ $D$

Literatura

Romanovsky P. I. Serie de Fourier. Teoría de campos. Funciones analíticas y especiales. Transformada de Laplace. M., Nauka, 1980, 336 p., campo de tiro. 28000 copias