Principio del argumento

El principio del argumento en el análisis complejo es el siguiente teorema:

Teorema. Si una función es meromórfica en el cierre de algún dominio acotado simplemente conectado con un límite suave y no tiene ceros ni polos en su límite , entonces la siguiente fórmula es verdadera: $F$ $GRAMO$ $\G parcial$

NP={1 \sobre 2\pi i}\int \limits_{{\G parcial}}{df \sobre f}={1 \sobre 2\pi}\Delta_{{\G parcial}}\, \nombre del operador {arg}\,f

donde y son los números, respectivamente, de ceros y polos de la función en , cada uno tomado en cuenta con su multiplicidad, y es el cambio en el argumento al atravesar el contorno de la región ( la orientación del contorno es estándar). $norte$ $PAGS$ $F$ $GRAMO$ $\Delta _{{\G parcial}}\,\nombre del operador {arg}\,f$ $f(z)$ $GRAMO$

Prueba

Sea , y la función es holomorfa en un punto y no igual a cero en él (un punto de la región ). Después $f(z)=(za)^{k}g(z)$ $gramo$ $a$ $a$ $GRAMO$

{df \sobre f}=k{dz \sobre za}+{dg \sobre g}

Dado que la forma 1 es holomorfa en el punto , su residuo en este punto es igual a cero, y el residuo de la forma en el punto es igual a , es decir, es igual al orden de cero (o menos el orden del polo) de la función en este punto. ${\frac{dg}{g))$ $a$ ${\frac{df}{f))$ $a$ $k$ $F$

Usando estas consideraciones y el teorema del residuo fundamental , la integral en el enunciado del teorema se puede calcular explícitamente:

{1 \over 2\pi i}\int \limits_{{\G parcial}}{df \over f}=\sum \limits_{a}\operatorname {res}_{a}{df \over f }=NP

Por lo tanto, se demuestra la primera mitad de la fórmula.

Para probar la segunda mitad de la fórmula, hagamos un corte simple dentro de la región , pasando por todos los ceros y polos de la función , y alcanzando el límite de la región en algún punto . El área con el corte \ ahora es simplemente conexa, y la forma 1 cerrada no tiene singularidades dentro de ella ni en el contorno , y por lo tanto es exacta en , es decir, admite una antiderivada allí . La función será antiderivada para la forma también a lo largo del contorno del área con un punto troquelado . Por lo tanto, puede aplicar la fórmula de Newton-Leibniz : $\Gama$ $GRAMO$ $F$ $GRAMO$ $z_{0}$ $GRAMO$ $\Gama$ ${\frac{df}{f))$ $\G parcial$ $\overline G\setminus \Gamma$ $F(z)$ $F(z)$ ${\frac{df}{f))$ $GRAMO$ $z_{0}$

\int \limits _{{\G parcial}}{df \over f}=\int \limits _{{\G parcial\setminus \{z_{0}\}}}dF=F(z_{0}- 0)-F(z_{0}+0)

Como , entonces la función , hasta una constante, coincide con alguna rama de un solo valor del logaritmo de la función , y por lo tanto la igualdad es verdadera: $dF={\frac {df}{f}}=d(\ln f)$ $F(z)$ $F$

F(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)+{\rm {const))

Sustituyendo esta expresión en la fórmula de Newton-Leibniz, finalmente obtenemos:

\int \limits _{{\G parcial}}\,{\frac {df}{f}}=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)=i(\arg f (z_{0}-0)-\arg f(z_{0}+0))=i\Delta _({\G parcial))\arg f

Véase también

Teorema de Abel-Plan
Argumento