Transporte de salto con longitud de salto variable

El salto de longitud de salto variable es un modelo utilizado para describir el transporte de portadores en un semiconductor desordenado o en un sólido amorfo saltando sobre un rango de temperatura extendido [1] . La conductividad tiene una dependencia característica de la temperatura:

\sigma =\sigma_{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}~,

dónde:

\beta

es un parámetro que depende del modelo considerado.

Modelo Mott

En el modelo de Mott se consideran saltos de longitud variable. Este modelo describe la conductividad a baja temperatura en sistemas altamente desordenados con estados localizados de portadores de carga [2] y tiene una dependencia característica de la temperatura:

\sigma =\sigma_{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4))

para la conductividad de una muestra tridimensional (c = 1/4) y se generaliza al problema -dimensional: $\beta$ $d$

\sigma =\sigma_{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1)))~.

El salto de conducción a bajas temperaturas es de gran interés debido a los ahorros que podría generar la industria de los semiconductores si pudiera reemplazar los dispositivos monocristalinos con materiales amorfos [3] .

Conclusión

El artículo original de Mott introduce la suposición simplificadora de que la energía del salto es inversamente proporcional al cubo de la distancia del salto (en el caso 3D). Posteriormente se demostró que esta suposición no es necesaria [4] . En el artículo original, se mostró que la probabilidad de saltar entre estados localizados a una temperatura determinada depende de dos parámetros: - la distancia entre los nodos y - su diferencia entre las energías de estos estados. Apsley y Hughes notaron que en un sistema verdaderamente amorfo, estas variables son aleatorias e independientes y, por lo tanto, pueden combinarse en un solo parámetro, el rango entre dos nodos, que determina la probabilidad de un salto. $R$ $W$ $\textstyle {\mathcal {R))$

Mott demostró que la probabilidad de saltar entre dos estados a distancia y diferencia de energía es: ${\ estilo de visualización \ estilo de texto R}$ $W$

P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]~,

dónde:

\alfa^{-1}

es la longitud de decaimiento para una función de onda localizada similar al hidrógeno.

Se supone que la transición a un estado de mayor energía es un proceso que limita la frecuencia de salto. Ahora definamos , el rango entre dos estados, entonces . Los estados se pueden ver como puntos en una matriz aleatoria de cuatro dimensiones (tres coordenadas espaciales y una coordenada de energía), con la "distancia" entre ellos determinada por el rango . $\textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT$ $\textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R)))$ $\textstyle {\mathcal {R))$

La conductividad es el resultado de muchas series de saltos a través de esta matriz de cuatro dimensiones, y dado que se favorece el salto de corta distancia, es la "distancia" promedio entre los vecinos más cercanos entre estados lo que determina la conductividad general. Así, la conductividad tiene la forma:

\sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R))}_{nn})~,

dónde:

\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}

es el rango promedio de los vecinos más cercanos.

Por lo tanto, el problema es calcular este valor. El primer paso es obtener , el número total de estados en el rango de algún estado inicial en el nivel de Fermi. Para -dimensiones y bajo ciertas suposiciones, esto resulta ser: $\textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})$ $\textstyle {\mathcal {R))$ $d$

{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}~,

dónde:

\textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d))}~.

Las suposiciones específicas son que es mucho más pequeña que la brecha de banda y más grande que la distancia interatómica. $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$

Luego, la probabilidad de que un estado con un rango sea el vecino más cercano en un espacio de cuatro dimensiones (o en general ( ) espacio dimensional): $\textstyle {\mathcal {R))$ ${\ estilo de visualización d+1}$

P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\parcial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\parcial {\mathcal {R}} }}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]

es la distribución de los vecinos más cercanos.

Para el caso -dimensional entonces: $d$

{\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int_{0}^{\infty}(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\ exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}~.

Esta integral se puede evaluar haciendo un simple cambio en la función gamma , $\textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}$ $\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

Después de un poco de álgebra esto da:

{\overline {\mathcal {R))}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1)))}{K^{\frac {1 {d+1}}}}}

y por lo tanto que:

\sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1))}\right)~.

Densidad no constante de estados

Cuando la densidad de estados no es constante (ley de la potencia impar N(E)), la conductancia de Mott se recupera como se muestra en este documento .

Saltos de longitud variable Efros-Shklovsky

El salto de longitud variable Efros-Shklovsky (ES) es un modelo de conducción que tiene en cuenta la brecha de Coulomb , un pequeño salto en la densidad de estados cerca del nivel de Fermi debido a interacciones entre electrones localizados. [5] Lleva el nombre de Alexei L. Efros y Boris Shklovsky , quienes lo propusieron en 1975.

Contabilizar la brecha de Coulomb cambia la dependencia de la temperatura a:

\sigma =\sigma_{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2))

para todas las dimensiones (es decir, = 1/2). [6] [7] $\beta$

Notas

↑ Hill, RM (16 de abril de 1976). Salto de rango variable. Estado físico sólido A ]. 34 (2): 601-613. DOI : 10.1002/pssa.2210340223 . ISSN 0031-8965 .
↑ Mott, NF (1969). "Conducción en materiales no cristalinos". Revista filosófica . Informa Reino Unido limitada. 19 (160): 835-852. DOI : 10.1080/14786436908216338 . ISSN 0031-8086 .
↑ PVE McClintock, DJ Meredith, JK Wigmore. Materia a bajas temperaturas . negro 1984 ISBN 0-216-91594-5 .
↑ Apsley, N. (1974). “Dependencia de la temperatura y del campo de la conducción por saltos en sistemas desordenados”. Revista filosófica . Informa Reino Unido limitada. 30 (5): 963-972. DOI : 10.1080/14786437408207250 . ISSN 0031-8086 .
↑ Efros, AL (1975). “Brecha de Coulomb y conductividad a baja temperatura de sistemas desordenados” . Journal of Physics C : Física del estado sólido ]. 8 (4): L49. DOI : 10.1088/0022-3719/8/4/003 . ISSN 0022-3719 .
↑ Li, Zhaoguo (2017). "Transición entre la conducción de salto de rango variable Efros-Shklovskii y Mott en películas delgadas de germanio policristalino". Ciencia y Tecnología de Semiconductores . 32 (3): 035010. doi : 10.1088 /1361-6641/aa5390 .
↑ Rosenbaum, Ralph (1991). "Cruce de conductividad de salto de rango variable de Mott a Efros-Shklovskii en películas InxOy". Examen físico B. 44 (8): 3599-3603. DOI : 10.1103/physrevb.44.3599 . ISSN 0163-1829 .