Cuadrícula computacional

La cuadrícula calculada (computacional)  es un conjunto de puntos (nodos de cuadrícula) especificados en el dominio de definición de alguna función .

Las cuadrículas de cálculo se utilizan en la solución numérica de ecuaciones diferenciales e integrales . La calidad de construcción de la grilla computacional determina en gran medida el éxito (fracaso) de la solución numérica de la ecuación.

Clasificación y métodos para la construcción de grillas computacionales

El procedimiento para construir una grilla computacional puede considerarse como la construcción de un mapeo uno a uno del dominio de definición de una función ( dominio físico ) sobre algún dominio computacional que tiene una forma más simple.

Métodos de mallado algebraico

Las cuadrículas algebraicas se construyen resolviendo ecuaciones algebraicas . Un ejemplo de la cuadrícula más simple definida en un segmento es el conjunto {xk}={x1, x2 … xK}, donde xk=x1+dx*(k-1). El valor de dx en este caso se denomina paso de la cuadrícula computacional. Las principales ventajas de los métodos algebraicos son el buen control sobre la distribución de los nodos internos de la cuadrícula y la alta eficiencia de su implementación numérica, lo que es especialmente importante cuando se construyen cuadrículas adaptativas (reconfiguradas durante el cálculo). La desventaja de los métodos algebraicos es que las rupturas de límites se propagan en el dominio. El uso de métodos diferenciales, por regla general, permite obtener mallas más suaves.

Métodos de mallado diferencial

Construcción de mallas por el método de mapeos conformes

La desventaja de los métodos para construir grillas computacionales usando el método de mapeos conformes es que son adecuados solo para construir grillas bidimensionales.

Mallas conectadas (coherentes) con el límite del área

La forma más sencilla de construir una cuadrícula computacional es dividir el espacio por un sistema de superficies equidistantes a las superficies base de los sistemas de coordenadas estándar, lo que permite simplificar significativamente la escritura de las ecuaciones diferenciales que se resuelven. La desventaja del concepto de interferencia radica en el hecho de que la cuadrícula no está conectada con la forma de los límites de la región: al considerar las regiones de definición de una función de forma arbitraria, ninguna de las líneas de coordenadas coincide con el límite, lo que lleva a una disminución en la calidad de la implementación de las condiciones de contorno y (o) a una complicación extrema del algoritmo de cálculo y, en consecuencia, a un aumento en el costo del tiempo de máquina. Mediante el uso de líneas de cuadrícula curvilíneas, es posible lograr la coincidencia de los límites del dominio de definición de la función ( dominio físico ) y las líneas de cuadrícula, lo que permite simplificar el registro de las condiciones de contorno . Sin embargo, debido a la transformación de coordenadas, suelen aparecer términos adicionales en la ecuación a resolver.

Cuadrículas estructuradas (regulares)

En los casos en que el conjunto de nodos de la grilla está ordenado , la grilla computacional se denomina estructurada. El uso de cuadrículas estructuradas (en comparación con las no estructuradas) permite, por regla general, reducir la duración del cálculo y la cantidad requerida de RAM de la computadora . Al mismo tiempo, el procedimiento para construir una cuadrícula regular curvilínea, por regla general, requiere mucha mano de obra y recursos informáticos, en comparación con el procedimiento para construir una cuadrícula irregular.

Cuadrícula regular

Cuadrículas no estructuradas (irregulares)

Malla no estructurada

Mallas ortogonales y ortogonales

Para obtener una solución de una ecuación diferencial que tenga la precisión requerida con recursos informáticos mínimos, la cuadrícula computacional debe tener una serie de propiedades. En particular, como muestra la experiencia de muchos investigadores, las celdas computacionales deben tener un pequeño sesgo, es decir, la cuadrícula computacional debe ser, si es posible, ortogonalizada. El problema de construir una grilla computacional ortogonalizada multidimensional se formula como un problema de minimizar el funcional I=int(wQ dV), donde w es una función de peso, Q es una medida de la ortogonalidad de la grilla. Como medida de Q, se puede utilizar la suma de productos escalares de tangentes a las líneas de la cuadrícula de coordenadas. Se puede demostrar que el problema variacional de construir una cuadrícula computacional ortogonalizada se reduce a un problema de valor límite para el sistema de ecuaciones diferenciales de Poisson. Como es sabido, el sistema de ecuaciones de Poisson bajo condiciones de contorno dadas describe la distribución del calor en el volumen bajo consideración, lo que hace posible obtener líneas de cuadrícula uniformes, incluso en los casos en que los límites de la región física tienen torceduras. El principio del máximo, que es válido para ecuaciones elípticas, garantiza que se alcanzarán los valores máximo y mínimo de las coordenadas calculadas en los límites de la región. Dado que se utiliza un sistema de ecuaciones elípticas, las coordenadas de los nodos de la cuadrícula en los límites (la condición de Dirichlet) o la pendiente de las líneas de coordenadas en los límites (la condición de Neumann) deben especificarse como condiciones de contorno.

Método multired

Responsive Grids

En problemas con soluciones discontinuas (incluyendo problemas de dinámica de gases supersónicos), el dominio computacional se caracteriza por la presencia de elementos multiescala de una estructura no homogénea compleja. Las zonas suficientemente grandes tienen gradientes pequeños o moderados de parámetros de solución. Al mismo tiempo, existen regiones comparativamente estrechas en las que los gradientes de los parámetros de la solución alcanzan valores elevados. Estas son ondas de choque, discontinuidades de contacto, capas límite. Para obtener una solución numérica confiable de problemas de este tipo, es necesario utilizar mallas computacionales con pequeños pasos espaciales. En este caso, los costes computacionales se vuelven tan importantes que, debido a las limitaciones de la tecnología informática, no siempre es posible obtener una solución de problemas suficientemente precisa. En tales casos, se vuelve deseable utilizar cuadrículas adaptables dinámicamente que permitan el uso de espaciamientos de cuadrícula espacial pequeños, cuando sea necesario, para cumplir con los estrictos requisitos de los métodos numéricos, mientras se mantienen requisitos computacionales moderados. Los métodos de grillas dinámicamente adaptativas son uno de los enfoques más efectivos para mejorar la precisión de la solución numérica en dominios computacionales con varias escalas espaciales, reflejando la estructura no homogénea de la solución. La idea principal de los métodos de grillas dinámicamente adaptativas es reducir el tamaño de las celdas en aquellas áreas del dominio computacional en las que ocurren grandes errores de solución. Dado que en la mayoría de los casos se desconoce la solución deseada y es imposible determinar el error, que es la diferencia entre las soluciones exactas y aproximadas en una determinada norma, los gradientes o las diferencias en los parámetros de la solución se utilizan con mayor frecuencia como una medida de la solución. error. Hay dos etapas del proceso de adaptación: el trabajo del criterio y los procedimientos de adaptación reales.

procedimientos de adaptación. Los siguientes enfoques principales se observan en la literatura: regeneración de malla completa; aplastamiento-fusión local de células; nodos en movimiento. La regeneración de malla completa consiste en construir una nueva malla utilizando la información obtenida en la malla anterior y reinterpolar la solución. El método de mover nodos supone que el número total de la cuadrícula computacional es fijo. Su redistribución también se lleva a cabo para aumentar la densidad de la malla en las áreas de localización de singularidades de la solución y su rarefacción donde dichas singularidades están ausentes. El método de división-fusión local de celdas de la cuadrícula computacional se reduce a incluir nodos adicionales en la cuadrícula en la vecindad de la localización de singularidades de la solución con la eliminación simultánea de nodos adicionales en regiones donde la solución no contiene singularidades. Con los dos métodos extremos, es necesario mantener la calidad requerida de la malla computacional.

Rejillas multibloque

Literatura

Véase también