Alcance de la función

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El dominio de definición es el conjunto sobre el que se define la función . En cada punto de este conjunto, se debe determinar el valor de la función.

Definición

Si una función se define en un conjunto que asigna el conjunto a otro conjunto, entonces el conjunto se denomina dominio de definición o dominio de la función. $X$ $X$ $X$

Más formalmente, si se da una función que asigna un conjunto a , es decir: , entonces el conjunto se denomina dominio de definición [1] o dominio de configuración [2] de la función y se denota o (del dominio inglés - "área"). $F$ $X$ $Y$ $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $F$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$

A veces también se consideran funciones definidas en un subconjunto de algún conjunto . En este caso, el conjunto se denomina área de partida de la función [3] . $D$ $X$ $X$ $F$

Ejemplos

Los ejemplos más ilustrativos de dominios los proporcionan las funciones numéricas . La medida y el funcional también proporcionan importantes tipos de dominios en las aplicaciones.

Funciones numéricas

Las funciones numéricas son funciones que pertenecen a las siguientes dos clases:

las funciones de valor real de una variable real son funciones de la forma ; $f\dos puntos {\mathbb {R}}\a {\mathbb {R}}$
así como funciones complejas de una variable compleja de la forma , $f\dos puntos {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$

donde y son los conjuntos de números reales y complejos, respectivamente. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$

Mapeo de identidad

El alcance de la función es el mismo que el área de origen ( o ). $f(x)=x$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$

Función armónica

El dominio de la función es el plano complejo sin cero: $f(x)=1/x$

{\mathrm {dom}}\,f={\mathbb {C}}\setminus \{0\}

porque la fórmula no establece el valor de la función en cero para algún número.

Funciones fraccionarias-racionales

Alcance de la función de vista

f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\puntos +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\puntos +b_{n} x^{n}}}

es la línea real o plano complejo excepto por un número finito de puntos, que son soluciones de la ecuación

b_{0}+b_{1}x+\puntos +b_{n}x^{n}=0

Estos puntos se llaman los polos de la función . $F$

Entonces, la función está definida en todos los puntos donde el denominador no se anula, es decir, donde . Así es el conjunto de todos los números reales (o complejos) excepto 2 y -2. $f(x)={\frac{2x}{x^{2}-4))$ ${\ estilo de visualización x ^ {2} -4 \ neq 0}$ $\mathrm {dom} \,f$

Medida

Si cada punto del dominio de una función es un conjunto, por ejemplo, un subconjunto de un conjunto dado, entonces se dice que se da una función de conjunto .

Una medida es un ejemplo de tal función, donde un cierto conjunto de subconjuntos de un conjunto dado, que es, por ejemplo, un anillo o un semicírculo de conjuntos, actúa como el dominio de la función (medida).

Por ejemplo, la integral definida es una función de un intervalo orientado .

Funcionalidad

Sea una familia de mapeos de conjunto a conjunto . Entonces podemos definir un mapeo de la forma . Tal mapeo se llama funcional . ${\mathbb {F}}=\{f\mid f\dos puntos X\to {\mathbb {R}}\}$ $X$ $\matemáticas {R}$ $F\dos puntos {\mathbb {F}}\to {\mathbb {R}}$

Si, por ejemplo, fijamos algún punto , entonces podemos definir una función que tome el mismo valor en el "punto" que la función misma en el punto . $x_{0}\en ~X$ $F(f)=f(x_{0})$ $F$ $F$ $x_{0}$

Véase también

Rango de función

Notas

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↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 3. Teoría de Límites // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105-121. — 672 pág. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ VA Zorich . Capítulo I. Algunos conceptos matemáticos generales y notación. § 3. Función // Análisis matemático. Parte I.- Cuarta, corregida. - M. : MTSNMO, 2002. - S. 12-14. — 664 pág. — ISBN 5-94057-056-9 .

Literatura

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A. N. Kolmogorov yS. V. Fomin Capítulo 1. Elementos de teoría de conjuntos// Elementos de teoría de funciones y análisis funcional. -3ra ed. . -M.: Nauka, 1972. - S. 14 - 18. - 256 p.
J. L. Kelly . Capítulo 0. Preliminares// Topología general. -2ª ed. . -M.: Nauka, 1981. - S. 19 - 27. - 423 p.
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