Matriz regular de Hadamard

Una matriz de Hadamard regular es una matriz de Hadamard cuyas sumas de filas y columnas son iguales. Mientras que el orden de la matriz de Hadamard debe ser 1, 2 o un múltiplo de 4, las matrices regulares de Hadamard satisfacen la restricción adicional de que el orden es un cuadrado perfecto . El exceso , denotado E ( H ), de una matriz de Hadamard H de orden n se define como la suma de los elementos de la matriz H. El exceso satisface la restricción . La matriz de Hadamard alcanza este límite si y solo si es regular. $|E(H)|\leqslant n^{\tfrac {3}{2))$

Opciones

Si es el orden de una matriz regular de Hadamard, entonces su exceso es , y las sumas de filas y columnas son . De ello se deduce que cada fila tiene elementos positivos y negativos. La ortogonalidad de las cadenas implica que dos cadenas distintas cualesquiera tienen exactamente el mismo elemento positivo. Si H se interpreta como la matriz de incidencia del diseño de bloques , donde 1 representa la adyacencia y −1 representa la no incidencia, entonces la matriz H corresponde a un diseño simétrico con parámetros . Un diseño con estos parámetros se denomina diseño de Menon . ${\ estilo de visualización n = 4u^{2}}$ ${\ estilo de visualización \ pm 8u^{3}}$ ${\ estilo de visualización \ pm 2u}$ $2u^{2}\pm u$ $2u^{2}\mpu$ $u^{2}\pm u$ ${\ estilo de visualización 2-(v, k, \ lambda)}$ $(4u^{2},2u^{2}\pm u,u^{2}\pm u)$

Edificio

Problemas no resueltos en matemáticas : ¿Qué cuadrados perfectos pueden ser del orden de una matriz regular de Hadamard?

Se conocen varios métodos para construir matrices regulares de Hadamard y se han realizado varias búsquedas informáticas exhaustivas de matrices regulares de Hadamard con ciertos grupos de simetría, pero no se sabe si todo cuadrado par perfecto es del orden de una matriz regular de Hadamard. Las matrices de Hadamard tipo Bush son matrices regulares de Hadamard de un tipo especial y están asociadas con planos proyectivos finitos .

Historia y naming

Al igual que las matrices de Hadamard más generales, las matrices regulares de Hadamard llevan el nombre de Jacques Hadamard . El diseño de Menon lleva el nombre del matemático indio P. Kishav Menon, y las matrices de Hadamard tipo Bush llevan el nombre de Kenneth A. Bush.

Notas

Literatura

El manual CRC de diseños combinatorios / Colbourn CJ, Dinitz JH (ed.). - 2nd ed.. - Florida.: CRC Press, Boca Raton, 2006.
WD Wallis, Calle Anne Penfold, Jennifer Seberry Wallis. Combinatoria: Cuadrados de habitación, Conjuntos sin suma, Matrices de Hadamard. — Berlín: Springer-Verlag, 1972.