Cuadrado completo

Un cuadrado perfecto , también un cuadrado exacto o un número cuadrado , es un número que es el cuadrado de algún número entero . En otras palabras, un cuadrado es un número entero, cuya raíz cuadrada se extrae por completo. Geométricamente , tal número se puede representar como el área de un cuadrado con un lado entero.

Por ejemplo, el 9 es un número cuadrado porque se puede escribir como 3 × 3 y también representa el área de un cuadrado de lado 3.

El número cuadrado se incluye en la categoría de los números figurativos clásicos .

Ejemplos

La secuencia de cuadrados comienza así:

0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 324 , 361 , 400 , 441 , 484 , 6 529 _ 676 , 729 , 784 , , 900 , 961841 A000290 en OEIS ) tabla de cuadrados

	_0	_una	_2	_3	_cuatro	_5	_6	_7	_ocho	_9
0_	0	una	cuatro	9	dieciséis	25	36	49	64	81
una_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
cuatro_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
ocho_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Vistas y propiedades

El cuadrado de un número natural se puede representar como la suma de los primeros números impares : $norte$ $norte$

una:

1=1

4=1+3

...
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

...

Otra forma de representar el cuadrado de un número natural: Ejemplo:
$n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n$

una:

1=1

4=1+1+2

...
cuatro:

16=1+1+2+2+3+3+4

...

La suma de los cuadrados de los primeros números naturales se calcula mediante la fórmula [1] : $norte$

\sum _{{k=1}}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\ fracción {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Conclusión

Método 1, método de fundición:

Considere la suma de cubos de números naturales de 1 a :

n+1

\sum_{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum_{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\sum_{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum_{{k=0}}^{n} k^{3}+\sum_{{k=0}}^{n}3k^{2}+\sum_{{k=0}}^{n}3k+\sum_{{k=0} }^{n}1=\sum_{{k=0}}^{n}k^{3}+3\sum_{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ suma _{{k=0}}^{n}k+\sum_{{k=0}}^{n}1

Obtenemos:

(n+1)^{3}=3\sum_{k=0}^{n}k^{2}+3\sum_{k=0}^{n}k+\sum_ k=0}^{n}1=3\sum_k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1 )

Multiplica por 2 y reordena:

6\sum_{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+ 1 )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(La fórmula se utilizó en el razonamiento: , cuya derivación es similar a la dada)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Método 2, método de coeficientes desconocidos:

Tenga en cuenta que la suma de las funciones de potencia se puede expresar como una función de potencia. Con base en este hecho, supongamos:

norte

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con respecto a los coeficientes requeridos:

{\begin{casos}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{casos}}

Resolviéndolo, obtenemos

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

De este modo:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac{1}{6}}n+0={\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}

Una serie de cuadrados inversos converge [2] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\puntos +{\frac {1}{n^{2}}}+\puntos ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Cuatro cuadrados distintos no pueden formar una progresión aritmética . [3] Existen progresiones aritméticas de tres cuadrados, por ejemplo: 1 , 25 , 49 .

Todo número natural se puede representar como la suma de cuatro cuadrados ( teorema de la suma de cuatro cuadrados de Lagrange ).

4900 es el único número > 1 que es a la vez cuadrado y piramidal.

Las sumas de pares de números triangulares consecutivos son números cuadrados.

En notación decimal, los números cuadrados tienen las siguientes propiedades:

El último dígito de un cuadrado en notación decimal puede ser 0, 1, 4, 5, 6 o 9 ( residuos cuadráticos módulo 10).
Un cuadrado no puede terminar con un número impar de ceros.
Un cuadrado es divisible por 4, o cuando se divide por 8 da un resto de 1. Un cuadrado es divisible por 9 o cuando se divide por 3 da un resto de 1.
Los dos últimos dígitos del cuadrado en notación decimal pueden ser 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 o 96 (residuos cuadráticos módulo 100). La dependencia del penúltimo dígito del cuadrado con respecto al último se puede representar en la forma de la siguiente tabla:

último dígito	penúltimo dígito
0	0
5	2
1, 4, 9	incluso
6	extraño

Representación geométrica

una

cuatro

9

dieciséis

25

Véase también

Notas

↑ Algunas series de números finitos . Matemáticas24.ru . Consultado el 14 de junio de 2019. Archivado desde el original el 14 de junio de 2019. (indefinido)
↑ Kokhas K. P. La suma de los cuadrados inversos // Educación matemática. - 2004. - Edición. 8 _ — S. 142–163 .
↑ K. Marrón. No hay cuatro cuadrados en la progresión aritmética

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas: Aritmética. Álgebra. geometría _ - M. : Educación, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Deza E., Deza M. Números rizados. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Enlaces

Números rizados Archivado el 23 de noviembre de 2018 en Wayback Machine .
Figurar números Archivado el 10 de junio de 2019 en Wayback Machine en el sitio web de MathWorld .

números rizados

plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado