Problemas matematicos abiertos

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Los problemas matemáticos abiertos (no resueltos) son problemas que han sido considerados por matemáticos , pero que aún no han sido resueltos. A menudo en forma de hipótesis , que son presuntamente verdaderas pero necesitan ser probadas .

En el mundo científico, es popular la práctica de compilar listas de problemas abiertos que son relevantes en el momento por parte de científicos u organizaciones reconocidas. En particular, las listas notables de problemas matemáticos son:

Con el tiempo, los problemas publicados de dicha lista pueden resolverse y, por lo tanto, perder su estado abierto. Por ejemplo, la mayoría de los problemas de Hilbert presentados por él en 1900 ahora se han resuelto de una forma u otra.

Teoría de números

El problema de Goldbach . ¿Todo número par mayor que 2 se puede representar como la suma de dos números primos ? [una]
El problema de Waring . La función de Hardy es la más pequeña , por lo que la ecuación se puede resolver para . Los valores de esta función solo se conocen para los iguales 2 y 4. $G(n)$ $k$ $x_1^n+x_2^n + \puntos + x_k^n = N$ $N\geqslant N_0(n)$ $norte$
¿Existe un conjunto infinito de primos gemelos ?
La hipótesis de Beal . ¿Es cierto que si donde están los números naturales y , entonces tienen un divisor primo común ? $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A B C$
Hipótesis de Collatz (hipótesis ). $3n+1$
La hipótesis de Erdő . ¿Es cierto que si la suma de los recíprocos para algún conjunto de números naturales diverge , entonces en este conjunto uno puede encontrar progresiones aritméticas arbitrariamente largas ?
Números de Van der Waerden . ¿Cuál es el mínimo para cualquier partición de un conjunto en dos subconjuntos , al menos uno de ellos contendrá una progresión aritmética de longitud 7? [2] $norte$ $\{1,\;2,\;\ldots,\;N\}$
¿Existe una caja de Euler (una caja con todas las aristas enteras y diagonales frontales) cuya diagonal principal también tiene longitud entera ? [3]
Tres de las cuatro hipótesis de Pollock .

Geometría

12 problemas no resueltos de la lista de Wernick sobre la construcción de un triángulo a partir de tres puntos singulares marcados [4] .
En el problema de mover un diván , no se ha demostrado la maximalidad de la mejor estimación desde abajo ( constantes de Gerver ).
¿Es posible encontrar 4 puntos en cualquier curva de Jordan cerrada en el plano que sean vértices de algún cuadrado? [5] [6]
¿Existe una constante tal que todo conjunto de puntos del plano de área deba contener los vértices de al menos un triángulo de área 1? [7] $A$ $A$
¿Existe un conjunto denso de puntos en el plano tal que la distancia entre cada dos puntos sea racional? [ocho]
¿Existe un triángulo con lados, medianas y área enteros? [9] [10]
¿Hay algún punto en el plano cuya distancia a cada uno de los 4 vértices del cuadrado unitario sea racional? [10] [11]
Problema sobre 9 círculos . ¿Hay 9 círculos tales que cada dos se cortan y el centro de cada círculo se encuentra fuera de los otros círculos? (El tiempo de ejecución del algoritmo de verificación es demasiado largo).
¿Algún poliedro convexo tiene un desarrollo sin autointersecciones? [12]
Se dan números reales positivos . ¿Cuál es el volumen más grande y más pequeño de un poliedro cuyas caras son iguales a estos números? $S_0,\;\ldots,\;S_n$
¿Cuántas veces el volumen de un poliedro no convexo puede exceder el volumen de un poliedro convexo compuesto por las mismas caras? [13]
¿A qué mínimo se puede colocar cualquier cuerpo convexo de volumen unitario dentro de cualquier pirámide de volumen triangular [14] $V$ $V?$
¿Cuál es el número cromático del espacio euclidiano bidimensional? Este problema no se ha resuelto ni siquiera para un avión. Es decir, no se sabe cuál es el número mínimo de colores necesarios para que puedan colorear el plano de manera que no se pinten del mismo color dos puntos que estén a una unidad de distancia entre sí ( problema de Nelson-Erdős-Hadwiger ) . $norte$
problema de Thomson . Cómo colocar puntos cargados idénticos en la esfera para que la energía potencial del sistema (es decir, la suma de distancias recíprocas por pares entre puntos) sea mínima (el problema se resuelve estrictamente solo para ) [15] . ¿Cuántos estados de equilibrio (extremos locales) hay para un sistema de puntos? $norte$ $n=2,\;3,\;4,\;6,\;12$ $norte$
¿Cómo colocar puntos en una esfera de modo que la menor de las distancias por pares entre ellos sea la máxima? [dieciséis] $norte$
Para cada par de números naturales, encuentre el número real más pequeño tal que cualquier conjunto de diámetro unitario en el espacio euclidiano bidimensional se pueda dividir en subconjuntos con un diámetro de como máximo . El problema se ha resuelto sólo en unos pocos casos especiales [17] [18] . $(n,\;k)$ $d(n,\;k)$ $norte$ $k$ $d(n,\;k)$
¿Cuál es el área del conjunto de Mandelbrot y dónde se encuentra su centro de masa en la abscisa? Hay una estimación de 1.506 591 77 ± 0.000 000 08 [19] .
Una tarea con final feliz . ¿En qué mínimo entre algunos puntos del plano, de los cuales 3 no están en la misma línea, hay vértices de algún -gon convexo, y es cierto que ? La solución solo se conoce para . El resultado de (que resultó ser 17) se obtuvo en 2006 mediante análisis informático. $metro$ $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización m = 1 + 2 ^ {n-2}}$ $n<7$ $n=6$
¿Cuál es el menor número de fichas que puede contener el conjunto de fichas Van que pueden teselar el plano solo de forma no periódica? El resultado más pequeño conocido es 11 [20] .
En cualquier habitación poligonal con paredes de espejos, ¿hay algún punto donde se coloque una fuente de luz en la que se ilumine toda la habitación? [21]
¿Es posible colocar 8 puntos en el plano de modo que 3 de ellos no estén en la misma línea, 4 no estén en el mismo círculo y la distancia entre 2 puntos sea un número entero? La solución para 7 puntos se encontró en 2007 [22] [23] [24] .
¿Cuál es el mayor volumen posible del casco convexo de una curva espacial de longitud 1?
La hipótesis de Bonnesen-Fennel . ¿Qué cuerpo tridimensional de ancho constante tiene el menor volumen? [25] [26] [27]
¿Cada polígono tiene también un polígono cuyos vértices se encuentran a una distancia menor que los vértices correspondientes del polígono inicial y todos cuyos lados y diagonales son de longitud racional? [28] $\epsilon > 0$ $\epsilon$

Problemas de embalaje

¿Cuál es el mayor número de círculos de radio unitario que no se cortan que se pueden colocar en una esfera de radio ? [29] $R$
¿Cuál es el lado del cuadrado más pequeño en el que se pueden empaquetar 2 círculos unitarios, uno de los cuales se puede cortar a lo largo de la cuerda en 2 segmentos? [treinta]
¿Cuál es el empaquetamiento rígido menos denso de círculos idénticos en el plano? [treinta]

Espacios multidimensionales

¿Cuál es el número de contacto en espacios euclidianos con dimensión ? Este problema ha sido resuelto solo para (240) y (196 560) [31] [32] . $n>4$ $n=8$ $n=24$
El problema del empaquetamiento más denso de bolas en el espacio euclidiano bidimensional para . Para un espacio tridimensional, este problema se resolvió en 1998: se demostró que la hipótesis de Kepler es válida. Sin embargo, la prueba existente es extremadamente grande y difícil de verificar [33] . También se demuestra que para y las redes, además del número de contacto, también realizan el empaquetamiento más denso de bolas. $norte$ $n>3$ $n=8$ $n=24$
La hipótesis de Borsuk . ¿Es posible dividir un cuerpo arbitrario de diámetro unitario finito en un espacio euclidiano n-dimensional en no más de una parte, de modo que el diámetro de cada parte sea menor que 1? Refutado para espacios de dimensión mayor a 64, probado para espacios de dimensión menor a 4, para 4 ≤ n ≤ 63 el problema no está resuelto. $n+1$

Mecánica

¿Es posible elegir tal marco de referencia (posiblemente no inercial) para cada movimiento de cuatro puntos en el espacio, de modo que las trayectorias de los cuatro puntos resulten ser curvas convexas planas? [ocho]
¿Es cierto que para un número suficientemente grande de puntos en movimiento con trayectorias entrelazadas (las trayectorias se llaman entrelazadas si no hay un homeomorfismo espacial bajo el cual caigan dentro de conjuntos convexos que no se intersecan) en cualquier marco de referencia, las trayectorias de al menos dos puntos resultará estar enredado?
Doce preguntas geométricas sin resolver relacionadas con los problemas de la mecánica se colocan en el libro [34] .

Álgebra

Teorema inverso de la teoría de Galois . Para cualquier grupo finito, existe un campo numérico algebraico tal que es una extensión del campo numérico racional y es isomorfo a . $H$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\matemáticas {Q}$ $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}/\mathbb{Q})$ $H$
Cualquier grupo finitamente dado , cada elemento del cual tiene un orden finito, es finito. Para un grupo generado finitamente (condición más débil) esto no es cierto [35] .
¿Existe un grupo simple que no sea transfinitamente supersimple ? [36]
¿ El anillo de período es un campo ?
El problema de O. Yu. Schmidt ¿Existen grupos no cuasicíclicos cuyos subgrupos propios (los subgrupos que no sean el grupo identidad y el grupo completo) sean finitos? [37]
El problema de L. S. Pontryagin Sea un grupo bicompacto transitivo efectivo de transformaciones de un espacio homeomorfo a una esfera dimensional. ¿Existe tal mapeo homeomorfo del espacio en la esfera unitaria del espacio dimensional euclidiano , bajo el cual el grupo pasa a algún grupo de movimientos de la esfera ? [38] . $GRAMO$ $\Gama$ $norte$ $\Gama$ $S^{n}$ $(n+1)$ $GRAMO$ $S^{n}$
Sistemas algebraicos ¿Existen variedades no triviales de groupoides , anillos y retículas y qué condiciones se satisfacen en el caso de existencia , alcanzable en las clases de todos los groupoides, todos los anillos o retículas? [39] .
Sistemas algebraicos ¿Existen y qué condiciones satisfacen las variedades no triviales y cuasi-variedades de semigrupos con varios elementos distinguidos, anillos y redes, alcanzables en la clase de todos esos semigrupos [39] , en el caso de existencia .
¿Hay operaciones en el conjunto de grupos que sean diferentes de las operaciones de multiplicación directa y libre y tengan sus propiedades básicas? [40]
¿Tendrá cardinalidad el conjunto de todos los grupos abelianos no isomorfos de cardinalidad dada ? [41] $METRO$ ${2}^{M}$
Problema de AI Maltsev ¿Existe un grupo contable tal que cada grupo contable sea isomorfo a uno de sus subgrupos? [42]
El problema de encontrar todos los sistemas hipercomplejos con división no ha sido completamente resuelto [43] .
Varias docenas de problemas algebraicos sin resolver están en el libro [44] .
No existe una descripción completa del conjunto de fórmulas válidas en los sistemas algebraicos. No se sabe si el conjunto es cerrado bajo el complemento en el conjunto [45] $S$ $\omega$
Las declaraciones de problemas no resueltos en la teoría de infinitos grupos abelianos se dan en el libro [46] $cincuenta$

Cuaderno Kourovka

Es una colección mundialmente famosa de varios miles de problemas sin resolver en el campo de la teoría de grupos . Se publica desde 1965 con una frecuencia de 2-4 años. Publicado en ruso e inglés [47] [48] [49] .

Cuaderno Dniéster

Es una colección de varios cientos de problemas sin resolver en la teoría de anillos y módulos [50] .

Cuaderno Sverdlovsk

Es una colección de problemas no resueltos en la teoría de semigrupos [51] [52] .

Cuaderno Erlagol

Es una colección de problemas no resueltos en álgebra y teoría de modelos [53] .

Análisis

La hipótesis de Riemann . ¿Todos los ceros no triviales de la función zeta se encuentran en la línea? [54] $\mathrm{Re}(z)=1/2$
¿Qué es la constante de Mills ? Los métodos de cálculo existentes se basan en la hipótesis de Riemann aún no probada.
Hasta ahora no se sabe nada sobre la normalidad de números como y ; ni siquiera se sabe cuáles de los dígitos 0-9 aparecen en la representación decimal del número un número infinito de veces. $\Pi$ $mi$ $\Pi$
¿Todo número algebraico irracional es normal ? [55]
¿Es un número normal ? [56] $\ln 2$
No se conoce ni un solo número del que se demuestre que la media geométrica de los términos de su desarrollo en fracción continua tiende a la constante de Khinchin (excepto los que se crean artificialmente [57] ), aunque se ha demostrado que casi todos los números reales tienen esta propiedad. Se supone que los números , la constante de Euler-Mascheroni , la propia constante de Khinchin y muchas otras constantes matemáticas deberían tener esta propiedad . $\Pi$
Haga la serie y [58] Ambas series tienen denominadores esporádicamente pequeños, pero la primera serie converge hipotéticamente alrededor de 30.31 y la segunda alrededor de 43. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n}$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \cos^2 n}?$

Cuestiones de irracionalidad

La medida de la irracionalidad no se conoce para ninguno de los siguientes números: la constante de Euler-Mascheroni , la constante catalana , la constante de Brun , la constante de Mills , la constante de Khinchin , los números Ninguno de ellos sabe siquiera si es un número racional , un número algebraico irracional o trascendental [59 ] [60] [61] [62] [63] [64] . $\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi , e^{\pi^2}, 2^e, e^e, e^{e^e}.$
No se sabe si y son algebraicamente independientes . $\Pi$ $mi$
No se sabe si o son números enteros en cualquier número entero positivo (ver tetration ). Ni siquiera se sabe si es un número entero (este número tiene más de 10 17 dígitos de la parte entera y es imposible un cálculo directo). ${^{n}\pi}$ ${^ no}$ $norte$ ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$
No se sabe si puede ser un número entero si es un número entero positivo, y es un racional positivo, pero no un número entero (en casos particulares la respuesta es negativa) [65] . ${^nq}$ $norte$ $q$ $n=1,\,2,\,3$
No se sabe si la raíz positiva de la ecuación es un número algebraico o trascendental (aunque se sabe que es irracional). ${^3 x}=2, \, x=1{,}476\;684\;33\puntos$
No se sabe si la raíz positiva de la ecuación es un número racional, irracional algebraico o trascendental. También está abierto un problema similar para la tetración de cualquier altura mayor a partir de cualquier número mayor que 1. ${^4 x}=2, \, x=1{,}446\;601\;43\puntos$
No se conoce una medida exacta de irracionalidad para cada uno de los siguientes números irracionales: [66] . $\pi, \pi^2, \ln 2, \ln 3, \zeta(3)$
No se sabe si el primer número de Skewes es un número entero. $e^{e^{e^{79}}}$
¿Los valores de la función zeta de Riemann son trascendentales para todos los números naturales ? $\zeta(2n+1)$ $norte$
¿Los valores de la función gamma son trascendentales para todos los enteros ? Se sabe que Γ(1/2), Γ(1/3), [67] Γ(1/4), [68] y Γ(1/6) son trascendentales. [68] $\gamma(1/n)$ $n>1$
¿Son trascendentes las constantes de Feigenbaum ?
¿Es trascendente la constante de Pell ? [69]
¿Toda fracción continua infinita no periódica con términos acotados es trascendental?
¿Existen números T según la clasificación de K. Mahler? [70] [71]
En el libro [72] se puede encontrar una lista de varios problemas no resueltos relacionados con la conjetura de Mahler .

Combinatoria

Existencia de una matriz de Hadamard de orden múltiplo de 4.
Existencia de un plano proyectivo finito de orden natural que no es potencia de un número primo.
La hipótesis de Erdős-Renyi . Si es un entero fijo , entonces for from . Aquí , es el permanente de la matriz , es el conjunto de todas — matrices de orden c unos en cada fila y cada columna [73] . $k$ $k \ geqslant 3$ $\liminf (\mathrm{per}\,(A))^{\frac{1}{n)) > {1}$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $\mathrm{por}\,(A)$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $(0,\; 1)$ $norte$ $k$
Los números de Ramsey para el caso están casi inexplorados [74] . $N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)$ ${\ estilo de visualización t> 2}$
El problema de encontrar el mínimo de la permanente de una matriz doblemente estocástica no ha sido resuelto en el caso general [75] .
No se conocen las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales existe una transversal común para tres familias de subconjuntos [76] .

Geometría combinatoria

Conjetura de Hadwiger (geometría combinatoria) : ¿puede cualquier cuerpo convexo en un espacio euclidiano bidimensional estar cubierto por cuerpos homotéticos más pequeños? [77] $norte$ $2^{n}$
Una lista de problemas no resueltos en geometría combinatoria está en el libro [78] . $17$
Varias docenas de problemas no resueltos de geometría combinatoria están en el libro [79] .

Teoría de grafos

La conjetura de Cazzetta-Haggvist es que un gráfico dirigido que tienevértices, cada vértice de los cuales tiene al menosaristas, tiene un contorno cerrado no más largo que [80] . $norte$ $metro$ $\left\lceil \frac{n}{m}\right\rceil$
Conjetura de Hadwiger (teoría de grafos) — todografo cromático es contraíble a un grafo completo [81] . $norte$ $K_n$
Conjetura de Ulam : [82]
- a) cualquier gráfico con más de dos vértices está determinado únicamente por un conjunto de gráficos, donde cada gráfico del conjunto se obtiene quitando uno de los vértices del gráfico original;
- b) cualquier gráfico con más de tres vértices está determinado únicamente por un conjunto de gráficos, donde cada gráfico del conjunto se obtiene quitando uno de los vértices del gráfico original.
La conjetura de Harari (una forma débil de la conjetura de Ulam): si un gráfico tiene más de tres aristas, entonces se puede restaurar de forma única a partir de subgráficos obtenidos eliminando una sola arista [82] .
En cualquier gráfico cúbico , uno puede elegir 6 factores 1 para que cada borde pertenezca exactamente a dos de ellos.
Conjetura de Ramachandran : cualquier dígrafo es reconstruible [83] . $norte$
Conjetura de restauración : si se dan las clases de isomorfismo de todos los subgrafos primarios de algún gráfico, entonces la clase de isomorfismo de este gráfico se determina únicamente para . $k$ $k \geqslant 3$
Conjetura de trekle de Conway : en cualquier trekle (una red en la que cada dos bordes tienen un punto común) el número de líneas es menor o igual que el número de puntos [85] .
La hipótesis de Ringel-Kotzig es que todos los árboles son gráciles .
Conjetura de cobertura de ciclo doble : para cualquier gráfico sin puente, hay un conjunto múltiple de ciclos simples que cubren cada borde del gráfico exactamente dos veces.
Problema de Koenig : qué condiciones son necesarias y suficientes para que un grupo de permutaciones dado en un conjunto tenga un gráfico con un conjunto de vértices tal que [86] $V$ $\Gama$ $GRAMO$ $V$ $AutG=\Gamma$
En el artículo [87] se puede encontrar un gran número de problemas no resueltos en teoría de grafos .
Conjetura de Barnett : cualquier gráfico poliédrico bicúbico es hamiltoniano .

Teoría del nudo

¿Existe un nudo no trivial cuyo polinomio de Jones sea el mismo que el del nudo trivial ?
¿Para qué sirve el número de nudos simples con puntos dobles ? ¿Esta sucesión es estrictamente creciente? [88] Los valores para están dados por la secuencia A002863 en el OEIS . $norte$ ${\ estilo de visualización n> 19}$ ${\ estilo de visualización n <20}$

Teoría de algoritmos

Cuestiones de solución algorítmica

Un análogo del décimo problema de Hilbert para ecuaciones de grado 3: ¿existe algún algoritmo que permita, dada cualquier ecuación diofántica de grado 3, determinar si tiene soluciones?
Análogo del Décimo Problema de Hilbert para Ecuaciones en Números Racionales . ¿Cómo averiguar a partir de una ecuación diofántica arbitraria si se puede resolver en números racionales (no necesariamente enteros) y si se puede conocer (es decir, es posible el algoritmo correspondiente)? [89] [90] [91]
Solubilidad algorítmica del problema de la matriz moribunda para matrices de orden 2. ¿Existe algún algoritmo que permita, para un conjunto finito dado de matrices cuadradas , determinar si existe un producto de todas o algunas de estas matrices (posiblemente con repeticiones) en alguna orden, dando una matriz cero [92] . $2\veces 2$
Una extensión de la clase de expresiones para las que se conoce un algoritmo que determina si una expresión es igual a cero ( Problema constante ). ¿Para qué clases de expresiones este problema es algorítmicamente irresoluble?
¿Hay algún algoritmo que le permita averiguar a partir de una matriz de enteros si hay un grado que tiene cero en la esquina superior derecha? [91]
La cuestión de la igualdad de dos elementos del anillo de época . ¿Existe algún algoritmo que permita, dados dos sistemas polinómicos de desigualdades para un número finito de variables con coeficientes racionales, determinar si el área acotada por ellos en ? ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$

Teoría de la complejidad computacional

P=NP ?
VP = VNP ? [93]
¿Está completo el problema de isomorfismo gráfico ? [94] $\mathrm {NP}$
¿ Pertenece a la clase P el problema de encontrar un factor primo de un número natural ?
¿El problema del reconocimiento de un nudo trivial pertenece a la clase P?
Determine el límite inferior exacto de la complejidad del algoritmo de multiplicación de enteros. De los algoritmos conocidos, el algoritmo de Martin Fuhrer es el de menor complejidad , ejecutándose en , donde es el logaritmo iterado de . $n \log n\,2^{O(\log^* n)}$ $\log^*$
Determine el límite inferior exacto de la complejidad del algoritmo de multiplicación de matrices. De los algoritmos conocidos, el algoritmo de Coppersmith-Winograd tiene la menor complejidad , se ejecuta en [95] Pero el exponente debe ser al menos 2 (porque la matriz de tamaño tiene valores dentro, y todos deben leerse al menos una vez para calcular el resultado exacto). $O(n^{2{,}3728639}).$ $n\veces n$ $n^{2}$
Se desconocen los límites superior e inferior no triviales para la complejidad algebraica de sumas parciales de desarrollos de funciones en una serie , y [96] $e^{x}\sim 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!)}}$ $\ln(1-x)\sim -x-{\frac {x^{2}}{2}}-\ldots -{\frac {x^{n}}{n}}$
¿Es posible demostrar un límite inferior para la complejidad algebraica de cualquier polinomio infinito en particular? [96]

Otros problemas en la teoría de algoritmos

El problema del castor diligente[97] . ¿Cuántos movimientos puede durar una máquina de Turing (sin bucle) conestados y un alfabetoen una cinta llena de ceros? ¿Cuántos caracteres distintos de cero imprimirá? Se sabe que no existe ningún algoritmo (y por lo tanto ninguna teoría formal recursivamente axiomatizable) que pueda resolver este problema para todos, que ambas funciones crecen más rápido que cualquier función computable , y hasta ahora solo se conocen los valores para [98] . $norte$ ${\displaystyle \{0,\;1,\;2,\;...,\;m\))$ $norte$ $n<5$
¿Existe un algoritmo que reconozca, para dos variedades 3 dadas por sus triangulaciones, si son homeomorfas? [91]
¿Existe un algoritmo que reconozca, mediante una posición arbitraria del juego "Vida" , si "se extinguirá" (si todas las celdas eventualmente se quedarán vacías)? [91]
¿Existe un teorema de completitud para la red de Muchnik? [91]
¿Existe un algoritmo que determine la decidibilidad y la aritmética del conjunto de fórmulas proposicionales realizables y del conjunto de fórmulas proposicionales irrefutables? [91]
¿Existen problemas de masa algebraicamente correctos de diversa complejidad en los sistemas algebraicos ordinarios? [91]
¿Existe un sistema algebraico para el cual la equivalencia uniforme difiere de la equivalencia del programa, o la equivalencia del programa de la equivalencia del problema? [91]
En el libro [99] se formulan ocho problemas no resueltos en la teoría de algoritmos .

Teoría axiomática de conjuntos

Actualmente, la teoría de conjuntos axiomática más común es ZFC , la teoría de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. La cuestión de la consistencia de esta teoría (y más aún, la existencia de un modelo para ella) sigue sin resolverse.
El problema de Skolem . Consideremos un conjunto de funciones de una variable natural construida a partir de términos y cerrada bajo suma , multiplicación y exponenciación . Para funciones de este conjunto, escribiremos si se satisface para todas las suficientemente grandes . Se sabe que la relación ordena completamente el conjunto . ¿Qué ordinal corresponde a este ordenamiento? (Se sabe que no es menor ni mayor que el primer ordinal crítico (ordinal de Cantor) ) [ 100 ] [ 101 ] tetración , se resolvió en 2010) [102] [103] . $S$ $norte$ $1,n$ $f,\;g$ $f \preccurlyeq g$ $f(n) \leqslant g(n)$ $norte$ $\preccurlyeq$ $S$ $\varepsilon_{0}$ ${\ Displaystyle \ zeta _ {0} = \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ cdot _ {\ cdot _ {\ cdot}}}}}}$
¿Existe un conjunto linealmente ordenado con un tipo ordinal que satisfaga las condiciones y ? [104] $\alfa$ $\alfa\neq\alfa^2$ $\alfa=\alfa^3$
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sin el axioma de elección , no se sabe si existen cardenales regulares grandes [105] . $\aleph_{\alfa}$ $\aleph_{0}$
El problema de los cardenales singulares . Para qué funciones existe un modelo de Zermelo-Fraenkel , en el que para todos los cardenales [106] . $G k)$ $k^{cf(k)} = G(k)$ $k$
¿Es cierto que si el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección es consistente, entonces el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel es consistente, el principio de elección dependiente, y todo conjunto de números reales es un conjunto medible de Lebesgue? [107]
¿La suposición de la existencia de tales números cardinales no conducirá a la contradicción de que el producto cartesiano de espacios m-compactos es siempre m-compacto? También se desconoce si el menor de estos números coincidiría con el menor número medible o no [108] . $\mathfrak{m} > \aleph_{0}$
En el problema del continuo , solo el teorema de Gödel (la hipótesis del continuo no se puede refutar sobre la base de los axiomas de la aritmética y la teoría de conjuntos) y el teorema de Cohen (la hipótesis del continuo no se puede probar sobre la base de los axiomas de la aritmética y la teoría de conjuntos) son válidos. conocido. No existe una teoría completa sobre el problema del continuo. [109]
El problema del continuo es decidible en el lenguaje de segundo orden de la teoría de conjuntos, pero allí no se conoce su solución. [109]
Prueba desconocida de la consistencia de la geometría euclidiana [110]
Prueba desconocida de la consistencia del sistema de números reales [111]
¿Hay números cardinales medibles? [112]

Teoría de la evidencia

¿Cuál es el enunciado indecidible más corto en la aritmética de Peano ? [113] Un enunciado indecidible de una teoría es un enunciado que no se puede probar ni refutar en la teoría dada. Las pruebas de los teoremas de Gödel demuestran cómo se pueden hacer tales declaraciones, pero las declaraciones resultantes son de un tamaño considerable cuando se escriben en el lenguaje formal de la aritmética.
Las formulaciones de los seis problemas no resueltos de la teoría de la prueba se pueden encontrar en el libro [114]

Matemáticas computacionales

Determine el nivel límite de aproximación del método de Runge-Kutta de etapas (una etapa = método de Euler = , dos etapas = método de Euler modificado = , cuatro etapas = método clásico de Runge-Kutta = , cinco etapas = método = también ). $norte$ $Vaya)$ $O(h^2)$ $O(h^4)$ $O(h^4)$

Ecuaciones diferenciales

Se desconoce la solución exacta de la ecuación de van der Pol (también conocida como el oscilador de van der Pol): [115] [116]

\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^2 x = 0

Se desconoce la solución exacta de la ecuación de Mathieu [117]

\ddot x + \omega^{2} x = - \mu x \cos 2t

La hipótesis de Ablowitz-Ramani-Segura. Todas las ecuaciones diferenciales ordinarias derivadas de ecuaciones diferenciales parciales totalmente integrables tienen la propiedad de Painlevé (la posición de cualquier singularidad algebraica, logarítmica o esencial de las soluciones de la ecuación no depende de las condiciones iniciales; solo la posición de los polos depende de la integración arbitraria constantes) [118] .
¿Tiene un sistema hamiltoniano integrable de Liouville una formulación equivalente en términos de un par de Lax y, de ser así, cómo construirlo? [119]
No existe una teoría general de ecuaciones diferenciales parciales de tipo mixto [120] .

Teoría de la probabilidad

Se desconocen las condiciones necesarias y suficientes para la pertenencia de una ley de distribución infinitamente divisible de una variable aleatoria en casos unidimensionales y multidimensionales a la clase de leyes que no tienen componentes indescomponibles [121] .
Se desconoce la fórmula analítica exacta para la distribución probabilística de las áreas de figuras determinadas por líneas rectas aleatorias en el plano [122] .
Problema de Cantelli : seanysean variables aleatorias independientes con distribución normal. es una función no negativa medible. Se sabe que la variable aleatoriatiene una distribución normal. ¿Se sigue de esto que esconstante en casi todas partes? [123] $\xi$ $\eta$ ${\ estilo de visualización N (0,1)}$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización \ xi + f (\ xi) \ eta}$ $f(x)$
Se desconocen las generalizaciones multidimensionales del teorema de Titchmarsh-Polyi [124] .

Ecuaciones de física matemática

No existe una justificación matemática rigurosa para el método de integración de caminos en la teoría cuántica de campos [125] [126] .
Las integrales de trayectoria solo se pueden calcular para el caso de cuadraturas gaussianas. En el caso general, se desconoce el método para calcular las integrales de trayectoria [127] [126] .
Se desconoce la solución exacta de la ecuación de Schrödinger para átomos multielectrónicos [128] .
En mecánica cuántica, al resolver el problema de la dispersión de dos haces por un obstáculo, la sección transversal de dispersión es infinitamente grande [129]
Ecuaciones de Navier-Stokes . ¿Existe una solución suave de la ecuación de Navier-Stokes en el caso tridimensional, a partir de un tiempo dado? [130]
ecuación de Euler . ¿Existe una solución suave de la ecuación de Euler en el caso tridimensional, a partir de un momento dado en el tiempo? [131]
Hay cientos de problemas sin resolver en hidrodinámica [132] .
No existe una teoría completa que explique el origen y la evolución del campo magnético terrestre [133] .
Conjetura de Jorgens Sea un conjunto abierto cuyo complemento tiene medida cero. Sea y sea continuo en y permita que el operador de Schrödinger esté acotado desde abajo y sea esencialmente autoadjunto en . Si , entonces también es esencialmente autoadjunto en [134] [135] . $M \subconjunto R^{n}$ $V$ $W$ $METRO$ $-\Delta+V$ $C_{0}^{\infty}(M)$ $W \geqslant V$ $-\Delta+W$ $C_{0}^{\infty}(M)$
¿Es posible generalizar el sistema de axiomas de Haag-Kastler utilizando el principio de covarianza general en lugar del principio de invariancia con respecto al grupo de Poincaré ? [126]
Cuantificación de campos de Yang-Mills [136] .
Se desconoce la fórmula exacta para calcular la constante de Madelung [137] .
Se desconoce la solución exacta del problema de Ising en el caso tridimensional [138] .
Se desconocen las fórmulas exactas de la fuerza de repulsión entre residuos atómicos en un cristal iónico [139] .
Se desconoce la prueba del principio de censura cósmica , así como la formulación exacta de las condiciones bajo las cuales se cumple [140] .
No existe una teoría completa y completa de la magnetosfera de los agujeros negros [141] .
Se desconoce la fórmula exacta para calcular el número de estados diferentes de un sistema, cuyo colapso conduce a la aparición de un agujero negro con una masa, un momento angular y una carga determinados [142] .
Se desconoce la prueba en el caso general del "teorema sin pelo" para un agujero negro [143] .
No existe una teoría general de las condiciones de contorno correctas para operadores diferenciales generalizados con coeficientes variables [144] .
No se conoce ninguna prueba general de que la serie de la teoría de la perturbación de los electrones en la banda de conducción de los metales converja [145] .
No es posible calcular satisfactoriamente la masa efectiva de electrones que se mueven en un campo magnético en metales a lo largo de la superficie de Fermi [146] y la capacidad calorífica de los electrones [147] .
No existe un método conocido para calcular los factores estructurales de los metales líquidos [148] .
¿Existen ecuaciones en derivadas parciales diferentes de la ecuación de onda ordinaria, pero cuyas soluciones satisfagan el principio de Huygens? [149]
El problema básico de la teoría cuántica axiomática de campos . No existe una teoría conocida que satisfaga todos los axiomas de la teoría cuántica axiomática de campos y describa campos que interactúan y una matriz de dispersión no trivial [150] .
Se desconoce la descripción de la clase de funciones generalizadas que satisfacen la condición de la función de Whiteman de dos puntos [151 ] . ${\ Displaystyle F_ {4}}$ $\int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{ 2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod_{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0$
La prueba de la hipótesis ergódica para sistemas dinámicos arbitrarios es desconocida [152] .
Se desconoce la solución al problema de emparejar soluciones de la ecuación de Boltzmann en ambos lados de la capa de choque según la teoría de Chapman-Enskog [153] .
Aún no se han encontrado las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad del equilibrio de un sistema conservativo [154] .
No existe una forma conocida de llevar a cabo de manera consistente el procedimiento de renormalización basado en la regularización invariante en el enfoque del operador para la cuantificación del campo gravitacional [155] .

Teoría de juegos

No existe una teoría matemática general de los juegos que se juegan en el espacio de funciones (porque la potencia del conjunto de funciones reales excede significativamente la potencia del continuo) [156] .
No existe una teoría matemática general de los pseudojuegos (situaciones de conflicto que no son juegos) [156] .
No existe una teoría matemática general de juegos no cooperativos de personas para [156] . $norte$ $norte > 2$
Las formulaciones de problemas no resueltos de teoría de juegos se pueden encontrar en el libro [157] . $ocho$
No se ha resuelto el problema de construir algoritmos de aprendizaje para la resolución de juegos, cuando los elementos de la matriz de pagos no son constantes, sino variables aleatorias, o desconocidas (juego ciego) [158] .

Teoría de la representación de grupos

La hipótesis de Langlands . Cualquier representación irreductible de un grupo de Lie semisimple real que aparece en la parte discreta de la descomposición de una representación regular se realiza en el espacio — la cohomología de un haz apropiado en el espacio , donde es un subgrupo de Cartan compacto en [159] . $GRAMO$ $L^{2}$ $X = G/A$ $H$ $GRAMO$

Topología general

El problema de Dowker . Determinar si todo espacio normal de Hausdorff es contablemente paracompacto [160] .
En [161] se puede encontrar una lista de problemas no resueltos en topología de teoría de conjuntos . $13$
Se desconoce la cardinalidad de los conjuntos complementarios de los conjuntos - , incluso en el caso unidimensional [162] . $A$
¿Se cumple el teorema principal de la teoría de las dimensiones para espacios compactos : la dimensión inductiva (dimensión según Urysohn) es igual a la dimensión definida con la ayuda de cubiertas ? [163]
Conjetura de Menger Considere la clase de todos los subconjuntos de algún espacio euclidiano o la clase de todos los espacios métricos separables . No se sabe si se cumple la condición para las dimensiones cohomológicas: para cada una existe un conjunto tan compacto que , donde . [164] $R^{n}$ $q$ ${\ estilo de visualización X \ en Q}$ ${\bar {X}}\en Q$ ${\ estilo de visualización d ({\ bar {X))) = d (X)}$ $d(X)=dim_{G}X$
Varias docenas de preguntas sin resolver sobre la teoría de retractos están en el libro [165] .
En el libro [166] se pueden encontrar varios problemas no resueltos en topología de cuatro dimensiones .

Álgebra lineal

Problema de Fréchet sobre el máximo del determinante Encontrar el máximo del determinante donde todos son iguales . Sólo se conocen las estimaciones [167] . $\Delta _{n}=\det \|\varepsilon _{ij}\|\ (i,\;j=1,\;2,\;\ldots,\;n),$ $\varepsilon_{ij}$ $\pm 1$ ${\sqrt {n!)}}\leqslant \max \mid \Delta _{n}\mid \leqslant n^{\frac {n}{2}}$

Teoría de los procesos aleatorios

El problema de determinar la ley de distribución del número de emisiones de un proceso aleatorio en el caso general no tiene una solución completa y compacta [168] . $p(n,\;T)$
El problema de determinar la ley de distribución de máximos absolutos de un proceso aleatorio se ha resuelto solo para procesos de Markov. Para otros procesos, se desconoce la solución exacta [169] .
Deje que la partícula deambule en el espacio : sale y en momentos discretos de tiempo da un solo salto con probabilidad a uno de los puntos vecinos. ¿Cuál es la probabilidad de que después de los pasos la trayectoria de la partícula nunca se haya cruzado? ¿Cuál es la expectativa de la distancia del final de una trayectoria que no se corta a sí misma desde el origen? [170] ${\ estilo de visualización Z ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 1,2,...}$ ${\displaystyle p={\frac{1}{2^{n))))$ $2^{n}$ $k$
Problema de Kolmogorov : existe una familia de funciones integrables (generalmente de valor complejo). ¿Qué condiciones (efectivamente verificables) deben imponerse a estas funciones para que para algún campo aleatorio en o en estas funciones haya densidades espectrales del orden th ? [171] $f_{j}(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{j-1}),j\en \left\{2,3,... ,k\derecha\}$ ${\ estilo de visualización \ xi (t) \ en D ^ {(k)))$ $t\en R^{n},\lambda_{j}\en R^{n},i={\bar {1,j-1))$ $t\in Z^{n},\lambda _{i}\in \left[-\pi ,\pi \right],i={\bar {1,j-1))$ $j$ ${\displaystyle j\in \left\{2,3,...,k\right\))$

Análisis Funcional

En el libro [172] se puede encontrar una lista de 22 problemas no resueltos en la teoría de operadores en un espacio de Banach .
En el libro [173] se encuentra una lista de 6 problemas no resueltos en la teoría de operadores elípticos en variedades analíticas complejas .
¿Todo espacio de Banach tiene un subespacio de dimensión infinita con una base incondicional? [174]
El libro formula problemas no resueltos de análisis funcional [175] . ${\ estilo de visualización 30}$
¿Es posible generalizar el teorema de Cauchy-Kovalevskaya a ecuaciones en derivadas funcionales parciales ? [176]

Teoría de los sistemas dinámicos

No se sabe si un sistema de dos o más bolas de billar rígidas es un flujo K bajo interacciones no singulares [177] .
¿Existe un escenario universal para la transición de los sistemas dinámicos al caos? [178]
¿Es posible describir el proceso de complicación del caos en términos de bifurcaciones? [178]

geometría riemanniana

Problema de Hopf ¿Existe unamétrica riemanniana de curvatura positiva en una variedad diferenciable? [179] . $S^{2} \times S^{2}$

Investigación de Operaciones

¿No existe un método combinatorio para resolver problemas de programación lineal entera con una estimación de costos polinomial (en lugar de exponencial)? [180] .
No existe una teoría general de los métodos de optimización algorítmica, que permita asegurar la aceleración de la convergencia y la elección del paso de iteración en el caso general de algoritmos de varios pasos [181] .
Se desconocen las condiciones para la convergencia casi seguramente al dominio para algoritmos de aprendizaje y adaptación de múltiples pasos [182] .
Se desconocen las reglas para determinar el momento de establecer la estacionariedad del algoritmo de adaptación y aprendizaje [182] .
Se desconocen las estimaciones de la dependencia de la precisión de la aproximación en el número de funciones y las estimaciones del tiempo de aprendizaje para los algoritmos de reconocimiento [183] .
No existen métodos generales para obtener estimaciones no sesgadas para un criterio de optimización dado en problemas de identificación [184] .
Las reglas generales para elegir un sistema de funciones en problemas de filtrado son desconocidas [185] .
No se ha estudiado la relación entre la tasa de cambio de las influencias externas y la duración del proceso de adaptación del filtro [185] .
No hay formas conocidas de utilizar información a priori sobre las distribuciones de variables aleatorias para construir filtros adaptativos [185] .
No existe una forma conocida de aplicar el enfoque adaptativo a las pruebas de confiabilidad aceleradas [186] .
No existe una teoría general de planificación de redes que utilice un enfoque adaptativo con información a priori insuficiente [187] .
¿Es posible implementar una medida de operador probabilístico arbitrario por medio de algún dispositivo físico? [188]
Se desconocen los métodos para resolver las ecuaciones de optimización de la teoría cuántica de toma de decisiones y estimación [189] .
¿Cómo depende la precisión de las estimaciones del número de observaciones en la teoría de la estimación cuántica? [189]
Una lista de problemas no resueltos en la teoría de los sistemas adaptativos y de aprendizaje se encuentra en el artículo [190] $veinte$

Geometría algebraica

En el libro [191] se puede encontrar una lista de ocho problemas no resueltos de geometría algebraica .
La hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer . ¿Bajo qué condiciones las ecuaciones diofánticas en forma de ecuaciones algebraicas tienen soluciones en números enteros y racionales? [192]
Hipótesis de Hodge . En cualquier variedad algebraica compleja proyectiva no degenerada, cualquier clase de Hodge es una combinación lineal racional de clases de ciclos algebraicos [193] .

Teoría de los autómatas

¿Es posible formalizar matemáticamente la capacidad de autorreproducir estructuras de panal? [194]
No existe una forma conocida de determinar qué tan complejo debe ser un sistema (por ejemplo, una molécula), formado a partir de partes, para ser capaz de autorreplicarse y evolucionar con la complicación de la descendencia. [194]
¿Puede una estructura de panal tener configuraciones autorreproducibles, pero no configuraciones borrables? [195]
¿Cómo se puede hacer que las máquinas se reproduzcan a sí mismas no secuencialmente, sino en paralelo? [195]

Cálculo de variaciones

En el libro [196] se dan enunciados de más problemas no resueltos en el cálculo de variaciones, relacionados con variaciones de conjuntos y funciones . $veinte$

Análisis complejo multivariado

En el libro [197] se encuentra una enumeración de problemas no resueltos de análisis complejo multidimensional . $9$

Control óptimo

En el libro [198] se puede encontrar una discusión detallada de los problemas no resueltos en la teoría del control óptimo . $12$
La lista de problemas no resueltos de control óptimo de sistemas singulares con parámetros distribuidos está en el libro [199] . ${\ estilo de visualización 80}$

Véase también

libro escocés

Notas

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