Movimiento relativista uniformemente acelerado

El movimiento relativista uniformemente acelerado (o movimiento relativista uniformemente acelerado ) es el movimiento de un objeto en el que su propia aceleración es constante. La aceleración propia es la aceleración de un objeto en el marco de referencia (propio) que lo acompaña , es decir, en un marco de referencia inercial, en el que la velocidad instantánea actual del objeto es cero (en este caso, el marco de referencia cambia de punto a punto). Un ejemplo de un movimiento relativista uniformemente acelerado puede ser el movimiento de un cuerpo de masa constante bajo la acción de una fuerza constante (en el marco de referencia comóvil) . El acelerómetro ubicado en un cuerpo que acelera uniformemente no cambiará sus lecturas.

A diferencia de la mecánica clásica , un cuerpo físico no siempre puede moverse con una aceleración constante (en un marco de referencia inercial fijo ) , ya que en este caso su velocidad superará tarde o temprano la velocidad de la luz . Sin embargo, la aceleración propia puede ser constante durante un tiempo arbitrariamente largo; en este caso, la velocidad de un objeto en un marco de referencia inercial fijo se acercará asintóticamente a la velocidad de la luz, pero nunca la superará.

En la mecánica relativista , una fuerza constante que actúa sobre un objeto cambia continuamente su velocidad, dejándolo, sin embargo, por debajo de la velocidad de la luz. El ejemplo más simple de un movimiento relativista uniformemente acelerado es el movimiento unidimensional de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo de la velocidad [1] .

Para un observador que se mueve con aceleración constante en el espacio de Minkowski , hay dos horizontes de eventos , los llamados horizontes de Rindler (ver coordenadas de Rindler ).

Velocidad versus tiempo

Cuando una fuerza [2] actúa sobre un objeto con una masa constante, su cantidad de movimiento cambia de la siguiente manera [3] : ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {f} }$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto m}$

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt { 1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.

Si la fuerza es constante, entonces esta ecuación se integra fácilmente:

{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))))=\mathbf {w}_{0}+\mathbf {a,

donde es un vector constante en la dirección de la fuerza y es una constante de integración expresada en términos de la velocidad inicial del objeto en el tiempo : $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {w} _ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {u} _ {0}}$ $\ estilo de texto t = 0$

\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{ 2}}}}.

La expresión explícita de la velocidad en función del tiempo tiene la forma:

\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0} }+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.

La velocidad de una partícula bajo la influencia de una fuerza constante tiende a la velocidad de la luz , pero nunca la supera. En el límite no relativista de bajas velocidades, la dependencia de la velocidad con el tiempo toma la forma

\mathbf {u} \approx \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t

correspondiente al clásico movimiento uniformemente acelerado .

Trayectoria del movimiento

La trayectoria del movimiento uniformemente acelerado en el caso general depende de la orientación de los vectores constantes y Después de integrar la ecuación , se obtiene la siguiente expresión: ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {a} }$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {w} _ {0}.}$ $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2))}\,\ izquierda({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2))}-{\sqrt {c^{2}+\ mathbf {w} _{0}^{2))}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w}_{0}\times \mathbf {a} ]]} {a^{2}}}\cdot\tau _{0},

donde es el radio vector de la posición del cuerpo en el momento del tiempo y es el tiempo propio del objeto [4] : ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto t = 0,}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ tau _ {0}}$

\tau_{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w}_{0} +\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w}_{0}\mathbf {a})/a}}.

Si la aceleración adecuada y la velocidad inicial son paralelas entre sí, entonces el producto vectorial es igual a cero y la expresión de la trayectoria se simplifica notablemente. ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {a} }$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {u} _ {0}}$ $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$

En este caso, si el objeto se mueve a lo largo del eje x , entonces su línea universal en el plano ( x, t ) es una hipérbola . Por lo tanto, el movimiento relativista unidimensional uniformemente acelerado a veces se denomina hiperbólico. $x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2))}.$

El tiempo propio es igual al tiempo transcurrido en el reloj asociado al objeto, desde el momento inicial hasta el momento del tiempo en un marco de referencia fijo, con respecto al cual se observa el movimiento. Como resultado de la dilatación del tiempo siempre ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ tau _ {0}}$ $\ estilo de texto t = 0$ $\ estilo de texto t$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ tau _ {0} <t.}$

En el límite no relativista (velocidades pequeñas), se obtiene la ecuación del movimiento uniformemente acelerado clásico : ${\ estilo de visualización \ estilo de texto c \ a \ infinito}$

\mathbf {r} (t)\approx \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2 }}{2}}.

Aceleración propia

El vector constante tiene el significado de aceleración ordinaria en el marco de referencia instantáneo asociado con el cuerpo que acelera. Si el cuerpo cambia de velocidad en relación con su posición anterior en algún lugar de un marco de referencia fijo, dicho movimiento se acelerará uniformemente de manera relativista. Por esta razón, el parámetro se llama aceleración intrínseca . Al aceptar tal definición de movimiento, se puede obtener la dependencia de la velocidad en el tiempo sin referirse a la dinámica, permaneciendo solo en el marco de la cinemática de la teoría de la relatividad [5] . ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {a} }$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto a \, dt',}$ $\textstyle a={\textrm {const)),$ $\textstyle un$

El módulo de aceleración intrínseco a en el caso unidimensional está relacionado con el módulo de aceleración 3 a′ = d u /d t , observado en un sistema de referencia inercial fijo Λ con tiempo de coordenadas t , como sigue:

a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2} }}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t)),

donde γ es el factor de Lorentz del objeto, u es su velocidad en Λ . Si los valores iniciales de la coordenada y la velocidad se toman iguales a cero, entonces, al integrar la ecuación anterior, podemos obtener las dependencias de la velocidad y la posición del objeto en el sistema Λ en el tiempo de coordenadas:

u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operatorname {th} \left(\nombre del operador {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2 ))}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\ derecha)-1\derecha).

La dependencia de las mismas cantidades en el tiempo propio del objeto:

u(\tau)=c\operatorname {th} {\frac {a\tau}{c));

x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} {\frac {a\tau }{c}}-1\right).

Dependencia del tiempo propio del tiempo coordinado:

\tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2} ))+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}.

Dependencia del tiempo coordinado del tiempo propio:

t(\tau )={\frac {c}{a}}\operatorname {sh} {\frac {a\tau }{c}}.

Radiación de una carga uniformemente acelerada

Una carga e , que se mueve con una aceleración propia constante a , irradia ondas electromagnéticas con potencia (en el sistema gaussiano ). En este caso , no hay fricción por radiación [6] . $P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

Véase también

Notas

↑ El movimiento de una partícula cargada en un ángulo no igual a 0 o 180° a un campo eléctrico uniforme no se acelera uniformemente, ya que, en general, durante la transformación de Lorentz , el campo electromagnético cambia, lo que conduce a un cambio en la fuerza actuando sobre el cuerpo en el marco de referencia comóvil. La única excepción es la transformación lorentziana a lo largo de un campo eléctrico homogéneo; en este caso el campo no cambia.
↑ En este artículo , los 3 vectores se indican en negrita directa y sus longitudes (en algún marco de referencia inercial) están en cursiva normal.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Logunov A. A. Lectures on the Theory of Relativity and Gravity: Modern Analysis of the Problem. - M.: "Nauka", 1987.
↑ Movimiento acelerado Archivado el 9 de agosto de 2010 en Wayback Machine in Relativity .
↑ Ginzburg V. L. Sobre la radiación y la fuerza de fricción de la radiación con un movimiento uniformemente acelerado de una carga // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Academia Rusa de Ciencias , 1969. - T. 98 . - S. 569-585 . (Ruso)