Rapidez

Rapidez ( eng. rapidity , a veces también se usan [1] son los términos hipervelocidad y ángulo de rotación de Lorentz ): en cinemática relativista , una función de velocidad monótonamente creciente , que tiende al infinito cuando la velocidad tiende a la velocidad de la luz . A diferencia de la velocidad, para la cual la ley de la suma no es trivial, la velocidad se caracteriza por una simple ley de la suma ("la velocidad es aditiva"). Por lo tanto, en problemas relacionados con movimientos relativistas (por ejemplo, la cinemática de reacciones de partículas en física de alta energía ), a menudo es más conveniente utilizar el formalismo de las rapidezes en lugar de las velocidades ordinarias.

Definición y propiedades

La velocidad se expresa mediante la fórmula:

\theta =c\,\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{ c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},

dónde

$\ theta$ - velocidad,
$v$ - velocidad normal
$C$ es la velocidad de la luz,
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Arth} x}$ - área tangente .

El área tangente (o arco tangente hiperbólico ) se define en el rango del argumento de −1 a +1; con función $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ ${\ estilo de visualización x \ a \ pm 1}$ $\operatorname {Arth} x\to \pm \infty .$

Así, la velocidad tiene la dimensión de velocidad y cuando la velocidad cambia de a cambia de a . A veces también se introduce el parámetro de velocidad , una cantidad adimensional , que a veces también se denomina velocidad (especialmente con el uso habitual del sistema de unidades en física de alta energía, donde , lo que simplifica enormemente las fórmulas; con esta definición, la velocidad se vuelve adimensional y coincide con el parámetro de velocidad). ${\ estilo de visualización -c}$ ${\ estilo de visualización + c}$ $-\infty$ $+\infty$ $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}$ ${\ estilo de visualización c = 1}$

En el límite de bajas velocidades, la velocidad es aproximadamente igual a la velocidad:

\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\ aproximadamente v

en .

v \ ll c

En el caso ultrarrelativista , el parámetro de rapidez se puede expresar en términos de energía y momento longitudinal (donde α es el ángulo de salida) de la siguiente manera: $huevo\gg m$ $p_{\|}=p\cos \alpha$

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.

En este caso, la energía y el momento longitudinal de la partícula se pueden expresar en términos de la masa de la partícula, el momento transversal y el parámetro de velocidad: $p_{\perp }=p\sin \alpha$

E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatorname {ch} \varphi ,

p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatorname {sh} \varphi .

Factor de Lorentz

Una cantidad de uso frecuente asociada con la velocidad es el factor de Lorentz , o factor de Lorentz , llamado así por G. A. Lorentz y definido como

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)))).

El factor de Lorentz es igual al coseno hiperbólico del parámetro de velocidad:

\gamma =\operatorname {ch} \varphi .

A medida que la velocidad aumenta de 0 a , el factor de Lorentz aumenta de 1 a . $C$ $\gama$ $+\infty$

El seno hiperbólico del parámetro de velocidad es igual al producto del factor de Lorentz y la velocidad adimensional:

\beta \gamma =\operatorname {sh} \varphi .

Aditividad de la velocidad

Supongamos que en algún marco de referencia inercial dos partículas se mueven a lo largo de una línea recta, la velocidad de una de ellas es igual a , y la velocidad de la segunda con respecto a la primera es igual (las velocidades pueden ser tanto positivas como negativas). Denotemos la velocidad de la segunda partícula en el sistema como . A velocidades bajas (en comparación con la velocidad de la luz ), la ley de Galileo de la suma de velocidades se cumple aproximadamente . Sin embargo, en el caso relativista, esta fórmula no funciona, y la velocidad de la segunda partícula debe calcularse mediante transformaciones de Lorentz . Ley relativista de la suma de velocidades $k$ $v_{1}$ ${\displaystyle v'_{2))$ $k$ $v_{2}$ $C$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2))$

v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}} }}

difiere del denominador galileano, que es cercano a la unidad a bajas velocidades. Considere las velocidades correspondientes a las velocidades . Resulta que la velocidad de la segunda partícula en el marco de referencia es igual a la suma de las velocidades: $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c))$ $k$

\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.

La conveniencia de escribir la ley de suma de velocidades en términos de velocidades ha llevado al hecho de que esta cantidad se usa bastante en cinemática relativista, especialmente en física de aceleradores. Sin embargo, debe recordarse que la suma de las rapidezes coincide en forma con la suma vectorial galileana de las velocidades sólo para el movimiento unidimensional de las partículas.

También se introduce la velocidad total , que es aditiva bajo transformaciones de Lorentz y representa una distancia en el espacio de velocidades. La velocidad es la componente longitudinal de la velocidad total. $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp)),$

El significado geométrico de la velocidad

En el espacio de Minkowski, la rapidez es el ángulo entre la tangente a la línea universal de la partícula y el eje del tiempo en el marco de referencia base. En el formalismo de Minkowski ( ) este ángulo es imaginario . $x_{0}=ict$

En el formalismo de los números complejos hiperbólicos (también conocidos como números dobles o números paracomplejos - una variante de los números complejos en los que la unidad imaginaria j se define por la relación j 2 = +1 ), un punto en el espacio de Minkowski se representa mediante un paracomplejo número z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , donde φ y ρ son reales. En este caso, el ángulo φ es la velocidad de una partícula que se mueve uniformemente desde el origen y pasa por el punto z , y ρ es el intervalo desde el origen hasta el punto z (es decir, el tiempo propio de la partícula que transcurrió desde pasando por el origen hasta pasar por z ). La transformación de Lorentz se determina multiplicando las coordenadas espacio-temporales expresadas por números paracomplejos por un número paracomplejo con módulo unitario λ(φ) = e j φ . Como resultado, todos los intervalos se conservan y el plano paracomplejo de Minkowski se gira un ángulo φ . Dos transformaciones de Lorentz sucesivas muestran la aditividad de la rapidez, similar a la aditividad del ángulo de rotación:

λ(φ) λ(ψ) = mi j φ mi j ψ = mi j (φ + ψ ) = λ(φ + ψ).

Algunas cantidades de la relatividad especial expresadas en términos de velocidad

Momento relativista:

p=mc\cdot \operatorname {sh} {\frac {\theta}{c))=mc\cdot \operatorname {sh} \varphi ,

dónde:

m es la masa,
c es la velocidad de la luz,
φ = θ/ c es el parámetro de velocidad (velocidad adimensional).

Energía total:

E=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} {\frac {\theta {c))=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} \varphi .

Velocidad en la estación de servicio:

v=c\cdot \operatorname {th} {\frac {\theta}{c))=c\cdot \operatorname {th} \varphi .

Velocidad adimensional

\beta =\operatorname {th} \varphi .

Efecto Doppler relativista (si el vector de velocidad coincide con la dirección a la fuente):

1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi},

donde es el parámetro redshift . $z$

Véase también

pseudovelocidad
impulso de lorenz

Literatura

Baburova O. V. Cinemática relativista y geometría de Lobachevsky // Soros Educational Journal. - 2004. - T. 8 . - S. 77-84 . (Ruso)
Grishin V. G. Rapidez // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Ch. edición A. M. Projorov . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - T. 1: Aharonov - Efecto Bohm - Largas colas. - S. 233. - 707 pág. — 100.000 copias.

Notas

↑ Kopylov G.I. Fundamentos de cinemática de resonancias. — M .: Nauka, 1970.