Conectividad Levi-Civita

La conexión Levi-Civita (o la conexión asociada con la métrica ) es una de las estructuras principales en una variedad Riemanniana. Proporciona una forma natural de diferenciar campos vectoriales en una variedad de Riemann ; es equivalente a especificar la diferenciación covariante , así como la traducción paralela a lo largo de las curvas. Nombrado en honor al matemático italiano Tullio Levi-Civita .

Definición

Una conexión de Levi-Civita es una conexión afín con torsión cero en una variedad riemanniana (o pseudo-riemanniana ) con respecto a la cual el tensor métrico es covariantemente constante. $METRO$

Es decir, una conexión afín en una variedad de Riemann se denomina conexión de Levi-Civita si se cumplen las dos condiciones siguientes: $\nabla$ $(M,\;g)$

(Riemannian) para cualquier campo vectorial , , true , donde denota la derivada en la dirección . $X$ $Y$ $Z$
$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$
$X(g(Y,\;Z))$ $g(Y,Z)$ $X$
(ausencia de torsión) para cualquier campo vectorial y , donde están los corchetes de mentira de los campos vectoriales y . $X$ $Y$
$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$
$[X,\;Y]$ $X$ $Y$

Propiedades

Cualquier variedad riemanniana (y pseudo-riemanniana) tiene una conexión Levi-Civita única; esta declaración a veces se llama el teorema fundamental de la geometría de Riemann .

Véase también

Literatura

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducción a la geometría de Riemann. - San Petersburgo: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .