Polinomio separable

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Un polinomio separable es un polinomio sobre un campo cuyos factores irreducibles no tienen raíces múltiples en el cierre algebraico del campo . $k$ $k$

También existe una definición alternativa, cercana en esencia, pero no equivalente en el caso general: un polinomio es separable si no tiene raíces comunes con su derivada formal . Esto último significa que el polinomio en sí mismo (y no solo sus factores irreducibles ) no tiene raíces múltiples en el cierre algebraico. En particular, para polinomios irreducibles ambas definiciones son equivalentes. $PAGS$ $PAGS'$ $PAGS$ $k$

Los polinomios irreducibles sobre campos perfectos siempre son separables, lo que incluye, en particular, todos los campos de característica cero, así como todos los campos finitos .

Debido a que un polinomio irreducible es (según el algoritmo de Euclides ) coprimo de todos los polinomios de menor grado, solo puede ser inseparable si su derivada es cero. Por lo tanto, la inseparabilidad es un fenómeno que se manifiesta solo en una característica positiva: para un polinomio irreducible e inseparable , la representación debe tener lugar: $PAGS$

P(X)=Q(X^{p})

donde también es un polinomio irreducible y es una característica del campo. Con base en esto, es fácil construir un ejemplo de un polinomio no separable, por ejemplo, este es un polinomio: $q$ $pags$

P(X)=X^{p}-T

sobre el campo de funciones racionales de una variable sobre el campo de elementos . De hecho, al pasar a una extensión algebraica (o simplemente al unir un campo ): $K=\mathbb {F}_{p}(T)$ $T$ $pags$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\ Displaystyle T ^ {1/p}}$ $k$

{\displaystyle P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(XT^{1/p})^{p))

en otras palabras, es una (única) raíz de multiplicidad . ${\ Displaystyle T ^ {1/p}}$ $pags$