Diferenciación formal

La diferenciación formal es una operación sobre elementos de un anillo de polinomios o un anillo de series de potencias formales , repitiendo la derivación del análisis matemático , pero no basada en el concepto de límite , que no se puede definir para un anillo arbitrario . Muchas propiedades de la derivada también son ciertas para la diferenciación formal, pero algunas, especialmente las que se refieren a enunciados que involucran números, no lo son. Una de las aplicaciones importantes de la diferenciación formal en álgebra es verificar la multiplicidad de las raíces de los polinomios.

Definición

La definición de diferenciación formal es la siguiente: fijar un anillo (no necesariamente conmutativo), sea un polinomio anillo sobre . Entonces la diferenciación formal es una acción sobre los elementos , en la que si $R$ ${\ estilo de visualización A = R [x]}$ $R$ $A$

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

entonces la derivada formal es

{\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1))

como en el caso de polinomios sobre números reales o complejos.

Tenga en cuenta que la expresión no significa multiplicación en el anillo, sino donde no se usa bajo el signo de suma. $na_{n}$ $\sum _{k=1}^{n}a_{n},$ $k$

Cabe señalar que para los anillos no conmutativos, esta definición encuentra la siguiente dificultad: la fórmula en sí es correcta, pero no todos los polinomios se pueden representar en la forma estándar. El uso de tal definición conduce a dificultades para probar la fórmula . $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b$

Definiciones alternativas adecuadas para anillos no conmutativos

Sea for verdadero Definamos también la derivada para expresiones de tipo y $r\en R$ ${\ estilo de visualización r'=0,}$ ${\ estilo de visualización x'=1.}$ ${\ estilo de visualización (a+b)'=a'+b',}$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Probemos que tal definición dará el mismo resultado para la expresión, independientemente de la forma en que se obtenga, por lo tanto, la definición es compatible con los axiomas de igualdad.

${\ estilo de visualización (a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',}$
$((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+( b+c)'=(a+(b+c))',$
$(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',

${\ estilo de visualización ((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b 'c)+(ac'+bc')=}$

=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac ')+(b'c+bc')=

=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.

La linealidad se sigue de la definición.

La fórmula para la derivada de un polinomio (en la forma estándar para anillos conmutativos) es una consecuencia de la definición: $(\sum_{i}a_{i}x^{i})'=\sum_{i}(a_{i}x^{i})'=\sum_{i}((a_ {i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum_{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum_{j=1 }^{i}x^{j-1}(x')x^{ij}))=\sum_{i}\sum_{j=1}^{i}a_{i}x^{i -una}.$

Propiedades

Uno puede probar un número de las siguientes afirmaciones.

La diferenciación formal es lineal: para cualesquiera dos polinomios y elementos de ${\ estilo de visualización f (x), g (x)}$ ${\ estilo de visualización r, s}$ $R$

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

Si no es conmutativa, existe otro tipo de propiedad de linealidad en la que y se ubican a la derecha. Si no hay un elemento de identidad en la fórmula, entonces la fórmula no se reduce a la forma de la suma de polinomios o la suma de un polinomio y un múltiplo de otro polinomio.

R

r

s

R

Para la diferenciación formal, se cumple la regla del producto :

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

Nótese la importancia del orden de los factores en el caso de un anillo no conmutativo .

R

Las dos propiedades dadas lo convierten en una derivación de un álgebra . $D$ $A$

Aplicación

La derivada permite determinar la presencia de raíces múltiples: si es un campo, entonces es un anillo euclidiano , por lo que se puede definir el concepto de multiplicidad de raíces; para un polinomio y un elemento de ahí existe un entero no negativo y un polinomio tal que $R$ ${\ estilo de visualización R [x]}$ $f(x)$ $r$ $R$ $Sres}$ $g(x)$

f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x),

donde no es lo mismo . El grado muestra la multiplicidad como raíz . De la regla del producto se deduce que es también el número de aplicaciones de la operación de diferenciación que se puede realizar hasta que deje de ser la raíz del polinomio restante. A pesar de que no todo polinomio de grado en tiene raíces, teniendo en cuenta la multiplicidad (este es solo el número máximo), puedes pasar a ampliar el campo en el que esta afirmación es cierta (ver cierre algebraico ). Después de pasar a la extensión del campo, también pueden existir múltiples raíces que no son raíces superiores . Por ejemplo, si es un campo con tres elementos, entonces el polinomio $gramo)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $Sres}$ $r$ $F$ $Sres}$ $f(x)$ $r$ $norte$ ${\ estilo de visualización R [x]}$ $norte$ $R$ $R$

f(x)\,=\,x^{6}+1

no tiene raíces en ; pero la derivada formal es cero, ya que 3 = 0 en y en cualquier extensión de , por lo que al pasar a la clausura algebraica nos encontraremos con una raíz múltiple que no se encuentra en . Por lo tanto, la noción de multiplicidad, definida por la diferenciación formal, puede verificarse efectivamente. Esto resulta especialmente importante en la teoría de Galois , ya que permite distinguir entre extensiones de campo separables e inseparables. $R$ $R$ $R$ $R$

Correspondencia de derivados analíticos

Si el anillo de números es conmutativo, entonces hay otra definición equivalente de derivada formal, que recuerda a la definición del análisis. Un elemento del anillo es un divisor de cualquier número entero no negativo y, por lo tanto, es un divisor de cualquier polinomio . Denotemos el cociente (en ) como : $R$ ${\ estilo de visualización YX}$ ${\ estilo de visualización R [X, Y]}$ $Y^{n}-X^{n}$ $norte$ ${\ estilo de visualización f (Y)-f (X)}$ $F$ ${\ estilo de visualización R [X, Y]}$ $gramo$

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX)),

entonces es fácil probar que (in ) coincide con la definición formal de la derivada dada arriba. ${\ estilo de visualización g (X, X)}$ ${\ estilo de visualización R [X]}$ $F$

Tal definición de la derivada es adecuada para series de potencias formales bajo el supuesto de que el anillo escalar es conmutativo.

Notas

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, Podrías simplificar el cálculo, arXiv:0905.3611v1