Campo perfecto

En álgebra general , se dice que un campo k es perfecto si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:

1) Cualquier polinomio irreducible sobre k tiene raíces distintas en el cierre algebraico de k . 2) Toda extensión finita k es separable . 3) Toda extensión algebraica k es separable . 4) k tiene característica 0 o k tiene característica p > 0 y cada elemento de k es una potencia p -ésima. 5) k tiene característica 0 o k tiene característica p > 0 y el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo de . 6) k coincide con el conjunto de puntos fijos de k -automorfismos de la clausura algebraica k .

En caso contrario, se dice que el campo es imperfecto .

Los campos perfectos son útiles porque la teoría de Galois sobre ellos se vuelve mucho más simple, ya que la condición de separabilidad para extensiones de campo se satisface automáticamente.

De manera más general, se dice que un anillo de característica p es perfecto si su endomorfismo de Frobenius es un automorfismo. [1] (En el caso de anillos integrales, esto es equivalente a la condición "todo elemento es una potencia p -ésima)".

Ejemplos

Todos los campos de característica cero son perfectos, como el campo de los números racionales .
Todos los campos terminales .
Todos los campos algebraicamente cerrados .
Las extensiones algebraicas de un campo perfecto también son perfectas.

La mayoría de los campos que aparecen en la práctica son perfectos. La geometría algebraica en la característica p > 0 proporciona ejemplos de campos imperfectos. Por ejemplo, el campo de funciones racionales de una variable sobre un campo de característica p es imperfecto, ya que este campo carece de la raíz p- ésima de x .

Cierre perfecto

En la característica p > 0, se puede "hacer" perfecto el campo k agregándole raíces p del grado r ( r ≥1 ) de todos los elementos. El campo resultante se denomina cierre perfecto de k y generalmente se denota como . $k^{p^{-\infty))$

En términos de la propiedad universal , el cierre perfecto de un anillo de característica es un anillo perfecto de característica junto con un homomorfismo de anillo tal que para cualquier anillo perfecto de característica con un homomorfismo hay un homomorfismo único tal que . Existe un cierre perfecto para cualquier anillo [2] , por lo tanto, existe un funtor de cierre perfecto y es el adjunto izquierdo de un funtor olvidadizo de la categoría de anillos perfectos a la categoría de anillos. $A$ $pags$ $A_{p}$ $pags$ ${\displaystyle u:A\a A_{p))$ $B$ $pags$ ${\ estilo de visualización v: A \ a B}$ ${\ estilo de visualización f: A_ {p} \ a B}$ $v=f\circ u$

Notas

↑ Serre, 1979 , Sección II.4
↑ Bourbaki, 2003 , Sección V.5.1.4, página 111

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Parte 2. Polinomios y cuerpos. Grupos ordenados - M.: Nauka, 1965
Bourbaki, Nicolás (2003), Álgebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier y Conrad, Brian (2009), Notas de la escuela de verano de CMI sobre la teoría p-adic Hodge , < http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf > . Consultado el 5 de febrero de 2010.
Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , vol. 67 (2 ed.), Textos de posgrado en matemáticas, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5
Cohn, PM (2003), Álgebra básica: grupos, anillos y campos
Matsumura, H (2003), Teoría del anillo conmutativo , vol. 8 (2ª ed.), Traducido del japonés por M. Reid. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas