Foliación

Una foliación es una construcción geométrica en topología : se dice que a una variedad se le da una foliación de dimensión , si la variedad se "corta" (de manera consistente alrededor de cada punto) en " capas " de dimensión . $pags$ $pags$

Las más estudiadas son las foliaciones unidimensionales generadas por trayectorias de campos vectoriales no singulares sobre una variedad y las foliaciones de codimensión 1 .

El concepto de foliación surge naturalmente, entre otras cosas, en la teoría de los sistemas dinámicos : por ejemplo, para los sistemas dinámicos hiperbólicos hay foliaciones estables e inestables .

Formal definición

Decimos que una foliación bidimensional se da en una variedad bidimensional si la variedad está cubierta por gráficos con las asignaciones de coordenadas correspondientes. $norte$ $METRO$ $pags$ $tu_{i}$

\varphi _{i}=(x_{i},\;t_{i})\colon U_{i}\to D^{p}\times D^{{np}},

tal que los mapas de repegado tienen la forma

\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{{-1}}(x,\;t)=(F_{{ij}}(x,\;t),\;T_{{ij }}(t)).

En otras palabras, durante el reencolado, la segunda coordenada ("transversal") está determinada únicamente por la segunda coordenada.

En este caso, se considera la relación de equivalencia generada por la relación , si en uno de los mapas coinciden las segundas coordenadas de los puntos y . La clase de equivalencia de un punto se llama entonces la fibra que pasa por el punto . $p\sim p'$ $pags$ $pags'$ $pags$ $pags$

Además, si algún conjunto de puntos (generalmente, finito, y siempre de codimensión al menos 2) no está cubierto por los mapas elegidos, decimos que se da una foliación especial (o una foliación con singularidades ), y estos puntos se llaman singulares . puntos de la foliación .

Ejemplos

La partición de una variedad en trayectorias de un campo vectorial no singular define una foliación unidimensional sobre ella.
Cualquier paquete (localmente trivial) es automáticamente un paquete.
Si se da la acción del grupo fundamental de la variedad sobre la variedad , $METRO$ $norte$

h\colon \pi _{1}(M)\to {\mathrm {Diff}}(N),

luego se construye a partir de él una superestructura , una foliación, cuya dinámica de mapeos holonómicos modela esta acción. Es decir, el producto cartesiano de la cubierta universal y , la variedad , con una foliación "horizontal" sobre él, se factoriza por la acción "diagonal" del grupo fundamental: $METRO$ $norte$ ${\tilde {M}}\veces N$

\gamma (x,\;y)=(\gamma .x,\;h(\gamma)(y)).

Dado que esta acción preserva la foliación horizontal, esta foliación disminuye por un factor, dando la suspensión deseada.

$pags$ - la forma , satisfaciendo el criterio de Frobenius para la integrabilidad del campo de planos en cada punto de la variedad , define una foliación -dimensional de esta variedad; $pags$
el campo vectorial polinomial en define una foliación bidimensional especial. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}$

Haces tangentes y normales de una foliación

El haz tangente de la variedad total de la foliación tiene un subhaz , cuyos vectores son tangentes a las capas, es el haz tangente de la foliación . El paquete de factores correspondiente se denomina paquete normal de la foliación .

Una foliación se dice orientada si su haz normal está orientado. Tenga en cuenta que ni la variedad total ni las fibras de una foliación orientada necesitan ser al menos orientables .

Una foliación se llama enmarcada si su haz normal es trivial y está dotado de cierta banalización .

Propiedades

El teorema de Novikov establece que cada foliación bidimensional de una esfera tridimensional tiene una fibra compacta.
El argumento de Haefliger muestra que para cada hoja no compacta de una foliación de codimensión uno en una variedad compacta existe un círculo transversal a la foliación que intersecta esta hoja.

Véase también

Foliación de codimensión 1
foliación riba
El criterio de Frobenius para la integrabilidad de un campo de planos.
Distribución que define la foliación

Literatura

Tamura I. Topología de foliaciones. - M: Mir, 1979.
Fuks D. B. Foliaciones // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Álgebra. Álamo. Geom., 18, VINITI, Moscú, 1981, pp. 151-213.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Foliation (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Fuchs D. B. Clases características de foliaciones . - UMN , 28 : 2 (170) (1973), pág. 3-17.