Paquete localmente trivial

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Un paquete localmente trivial es un paquete que localmente parece un producto directo de .

Definición

Sean , y sean espacios topológicos . Una aplicación continua sobreyectiva se denomina paquete localmente trivial de un espacio sobre una base con fibra si para cualquier punto de la base existe una vecindad sobre la cual el paquete es trivial . Esto último significa que existe un homeomorfismo tal que el diagrama es conmutativo $mi$ $B$ $F$ $\pi \colon E\to B$ $mi$ $B$ $F$ $x\en B$ $U\subconjunto B$ $\phi \colon \pi ^{{-1}}(U)\to U\veces F$

Aquí está la proyección del producto de espacios sobre el primer factor. ${\mathrm {proj_{1}}}:\,U\veces F\to U$

El espacio también se denomina espacio total del paquete o espacio del paquete . $mi$

Definiciones relacionadas

Una sección de un paquete es una asignación tal que . En términos generales, no todos los paquetes tienen una sección. Por ejemplo, sea una variedad y sea un subpaquete de vectores de longitud unitaria en el paquete tangente . Entonces la sección del paquete es un campo vectorial sin ceros en . El teorema del peinado del erizo muestra que tal campo no existe en una esfera. $s: B \ a E$ $\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}$ $METRO$ $E \ a M$ $TM$ $mi$ $METRO$
El conjunto se denomina fibra del haz sobre el punto . Cada fibra es homeomorfa al espacio , por lo que el espacio se denomina fibra general (o modelo) del haz . $F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}$ $\Pi$ $x\en B$ $F$ $F$ $\Pi$
Un homeomorfismo que identifica la restricción de un paquete sobre una vecindad de un punto con algún paquete trivial se llama trivialización local del paquete sobre una vecindad de un punto . $\varphi$ $\Pi$ $X$ $\Pi$ $X$
Si es una cobertura de la base por conjuntos abiertos, y son las aplicaciones de trivialización correspondientes, entonces la familia se llama el atlas de trivialización del paquete . $\{U_{{\alfa}}\}$ $B$ $\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\to U_{{\alpha }}\times F$ $\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}$ $\pi :E\a B$
Supongamos que una fibración localmente trivial se proporciona con una cubierta base con una trivialización distinguida y la restricción de cualquier mapeo de comparación a una fibra pertenece a algún subgrupo del grupo de todos los automorfismos . Entonces se llama paquete localmente trivial con estructura de grupo . $\pi :E\a B$ $\{U_{\alfa}\}$ $B$ $\phi _{\alpha}:U_{\alpha}\times F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha})$ $\phi _{\alfa}^{{-1}}\circ \phi _{\beta}$ $GRAMO$ $F$ $\Pi$ $GRAMO$

Ejemplos

Paquete trivial, es decir, proyección sobre el primer factor. $B\veces F\a B$
Cualquier recubrimiento es una fibración localmente trivial con una fibra discreta.
Los paquetes tangente , cotangente y tensorial sobre una variedad arbitraria son localmente triviales.
Si es un grupo topológico , y es su subgrupo cerrado, y la factorización tiene secciones locales, entonces es un haz de fibras ( Steenrod 1951 , §7). $GRAMO$ $H$ ${\ estilo de visualización \ pi: G \ a G / H}$ $\Pi$ $H$
La cinta de Möbius es el espacio de una fibración no trivial sobre un círculo.
El paquete de Hopf es un paquete no trivial . No tiene secciones, ya que es un paquete principal con estructura grupo , y cualquier paquete principal que admita una sección es trivial. $S^{3}\a S^{2}=S^{3}/S^{1}$ $tu(1)$
Se puede construir un paquete especificando arbitrariamente su base (espacio ), fibra común (espacio ) y mapas de transición (Cech 1-cocycle ) para alguna cubierta abierta de espacio . Entonces el espacio E se puede obtener formalmente como un conjunto de ternas de la forma con la regla de identificación: $B$ $F$ $\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$ $B$ $\{(\alfa ,x,f_{{\alfa }}):\,x\en U_{{\alfa }}),\,f_{{\alfa }}\en F\}$

(\alfa,x,f_{{\alfa}})=(\beta,x,f_{{\beta}})

, si

f_{{\beta }}=u_{{\beta \alpha }}f_{{\alpha }}

Propiedades

Para paquetes localmente triviales , se cumple el teorema de homotopía de cobertura . Sea — un paquete localmente trivial, mapeos y , entonces , y una homotopía de mapeo (es decir ). Entonces existe una homotopía de aplicación tal que , es decir, el siguiente diagrama es conmutativo $\pi :E\a B$ $g\dos puntos M\to B$ $f\dos puntos M\to E$ $g=\pi \circ f$ ${\tilde g}\dos puntos M\times [0;1]\to B$ $gramo$ ${\tilde g}(m,0)=g(m)$ ${\tilde f}\dos puntos M\times [0;1]\to E$ $F$ ${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$ ${\begin{matriz}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matriz}}$
Sea un haz de fibras localmente trivial ( a veces escrito formalmente como ). Entonces la secuencia de grupos de homotopía es exacta : $E \ a B$ $F$ $F\a E\a B$

\ puntos \ a \ pi _ {2} (F) \ a \ pi _ {2} (E) \ a \ pi _ {2} (B) \ a \ pi _ {1} (F) \ a \ pi _ {1} (E) \ a \ pi _ {1} (B) \ a \ pi _ {0} (F)

Los mapas de transición satisfacen la condición de 1 cociclo de Cech :

Si , entonces .

x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}

u_{{\beta \alpha }}(x)=u_{{\beta \gamma }}(x)\circ u_{{\gamma \alpha }}(x)

Dos haces sobre la misma base y con la misma fibra son isomorfos si y sólo si los cociclos Cech 1 correspondientes a ellos son cohomológicos. (Tenga en cuenta que en el caso de que el grupo no sea conmutativo, la cohomología unidimensional no forma un grupo , sino un conjunto sobre el que actúa el grupo de Cech 0-cochains (a la izquierda) : ${\mathrm {Aut}}\,F$ $H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $u_{{\alpha \beta }}'(x)=f_{{\alpha }}(x)\circ u_{{\alpha \beta }}(x)\circ f_{{\beta }}(x) ^{{-1}}$ ,

donde está actuando la cocadena Cech 0 sobre el cociclo Cech 1 . Se dice que los cociclos 1 son cohomológicos si se encuentran en la misma órbita de esta acción.)

\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

Para cualquier paquete localmente trivial y mapeo continuo, el paquete inducido es localmente trivial. $\pi :X\to B$ $f:B'\to B$ $f^{*}(\pi)$

Variaciones y generalizaciones

Los paquetes localmente triviales son un caso especial
- Paquetes de Gurevich y
- Fibraciones de Serre .

Si los espacios son variedades suaves (diferenciables) , la aplicación es suave y admite un atlas de trivialización con aplicaciones de trivialización suaves, entonces el paquete en sí se llama paquete suave . $E B F$ $\Pi$
Un paquete se llama holomorfo si los espacios son variedades complejas, la aplicación es holomorfa y existe un atlas de trivialización con aplicaciones de trivialización holomorfas. $E B F$ $\Pi$
Paquete principal .

Véase también

Teoría de Yang-Mills

Literatura

Vasiliev V. A. Introducción a la topología. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Steenrod, Norman (1951), La topología de los haces de fibra , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0