Un elemento aleatorio es una generalización del concepto de variable aleatoria . Aparentemente, el término fue introducido por M. Frechet (1948), quien señaló que “el desarrollo de la teoría de la probabilidad y la expansión del alcance de sus aplicaciones llevó a la necesidad de pasar de esquemas donde los resultados (aleatorios) de la experiencia pueden ser descritos por un número o un conjunto finito de números, a esquemas donde los resultados de la experiencia son, por ejemplo, vectores , funciones , procesos , campos , series , transformaciones, así como conjuntos o conjuntos de conjuntos.
Sea un espacio probabilístico y sea un espacio medible . Entonces, la función medible se llama elemento aleatorio (con valores en ) o variable aleatoria con valor de -.
Si , donde es el eje real, y es el álgebra de Borel de sus subconjuntos, entonces la definición de S.e. coincide con la definición de una variable aleatoria .
Definición de S.e. en un espacio de Banach , se asemeja a la definición de una variable aleatoria. Sea el espacio dual de k. Un mapeo del espacio de eventos elementales en se llama elemento aleatorio si cada funcional lineal continua resulta ser una variable aleatoria. En S. e. en un espacio de Banach se pueden ampliar los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, como función característica , expectativa matemática , covarianza , etc.
para S.e. con valores en espacios arbitrarios no se pueden definir algunos conceptos básicos de la teoría de probabilidades. Por ejemplo, es imposible definir el concepto clásico de expectativa matemática para SE, cuyo espacio de valores no es lineal (Random finite abstract set, random set of events). En tales situaciones, generalmente se usa uno u otro análogo de los conceptos clásicos (conjunto de dimensiones medias).