Teoría de matrices aleatorias

La teoría de matrices aleatorias  es una línea de investigación en la intersección de la física matemática y la teoría de la probabilidad , en la que se estudian las propiedades de los conjuntos de matrices , cuyos elementos se distribuyen aleatoriamente. Como regla general, se establece la ley de distribución de elementos. Al hacerlo, se estudian las estadísticas de valores propios de matrices aleatorias y, en ocasiones, también las estadísticas de sus vectores propios .

La teoría de matrices aleatorias tiene muchas aplicaciones en física, especialmente en las aplicaciones de la mecánica cuántica al estudio de sistemas dinámicos desordenados y clásicamente caóticos . El hecho es que el hamiltoniano de un sistema caótico a menudo puede pensarse como una matriz real aleatoria hermítica o simétrica , mientras que los niveles de energía de este hamiltoniano serán los valores propios de la matriz aleatoria.

Por primera vez, la teoría de matrices aleatorias fue aplicada por Wigner en 1950 para describir los niveles de energía del núcleo atómico . Posteriormente, resultó que la teoría de las matrices aleatorias describe muchos sistemas, incluidos, por ejemplo, los niveles de energía de los puntos cuánticos , los niveles de energía de las partículas en potenciales de forma compleja. Al final resultó que, la teoría de las matrices aleatorias es aplicable a casi cualquier sistema cuántico cuya contraparte clásica no sea integrable . Al mismo tiempo, existen diferencias significativas en la distribución de los niveles de energía: la distribución de los niveles de energía en un sistema integrable, por regla general, está cerca de la distribución de Poisson , mientras que para un sistema no integrable tiene una forma diferente, que es característico de las matrices aleatorias (ver más abajo).

La teoría de matrices aleatorias resultó ser útil para secciones aparentemente extrañas de las matemáticas, en particular, la distribución de ceros de la función zeta de Riemann en la línea crítica se puede describir usando un conjunto de matrices aleatorias [1] .

Conjuntos básicos de matrices aleatorias y sus aplicaciones en física

Hay tres tipos principales de conjuntos de matrices aleatorias que tienen aplicaciones en física. Estos son conjunto ortogonal gaussiano , conjunto unitario gaussiano , conjunto simpléctico gaussiano .

Conjunto unitario gaussiano  : el conjunto más general consiste en matrices hermitianas arbitrarias, cuyas partes reales e imaginarias de los elementos tienen una distribución gaussiana . Los sistemas descritos por un conjunto unitario gaussiano carecen de cualquier simetría: no son invariantes bajo la inversión del tiempo (tal propiedad la poseen, por ejemplo, los sistemas en un campo magnético externo) y no invariantes bajo rotaciones de espín.

El conjunto ortogonal gaussiano consta de matrices reales simétricas. El conjunto ortogonal gaussiano describe sistemas que son simétricos con respecto a la inversión del tiempo, lo que en casos prácticos significa la ausencia de un campo magnético e impurezas magnéticas en dichos sistemas.

El conjunto simpléctico gaussiano consta de matrices hermitianas cuyos elementos son cuaterniones . El conjunto simpléctico gaussiano describe un sistema que contiene impurezas magnéticas pero no en un campo magnético externo.

Las características más importantes del espectro de matrices aleatorias

Distribución de valores propios

La distribución de valores propios de una matriz aleatoria gaussiana suficientemente grande es, en primera aproximación, un semicírculo ( ley de los semicírculos de Wigner ). La ley del semicírculo de Wigner se cumple en el límite, en cierta medida correspondiente a la aproximación semiclásica en mecánica cuántica , se cumple con mayor precisión cuanto mayor sea el tamaño de la matriz analizada. En un tamaño de matriz finito, la distribución de los niveles de energía tiene "colas" gaussianas. Se obtienen semicírculos para todos los conjuntos gaussianos, en este nivel los tres conjuntos anteriores dan distribuciones equivalentes. Las diferencias cualitativas entre los tres conjuntos se manifiestan en el siguiente nivel, en el nivel de las funciones de correlación por pares de valores propios.

Función de correlación de valores propios

Notas

  1. ↑ Keating y otros, 2000 .

Enlaces

Literatura