Relación de Mayer

La relación de Mayer (o ecuación de Mayer [1] , o relación de Robert Mayer [2] ) es una ecuación que relaciona la capacidad calorífica de un gas ideal a presión constante con su capacidad calorífica a volumen constante. Para un gas tomado en la cantidad de un mol , la relación de Mayer tiene la forma:

C_{P,m}-C_{V,m}=R,\qquad (M)

donde es la constante universal de los gases , es la capacidad calorífica molar a presión constante, es la capacidad calorífica molar a volumen constante. $R$ ${\ Displaystyle C_ {P, m}}$ $C_{V,m}$

Esta proporción fue comprobada por primera vez en 1842 por el investigador alemán Julius Robert Mayer [3] [4] , y de forma más detallada y concluyente en su publicación científica de 1845 "Movimiento orgánico en su conexión con el metabolismo" (en alemán: Die organische Bewegung im Zusammenhang mit dem Stoffwechsel ) [5] [K 1] (para un centímetro cúbico de aire, cuya capacidad calorífica a presión constante y la relación de capacidades caloríficas eran bastante conocidas). $C_{P}/C_{V}$

Capacidad calorífica y capacidad calorífica molar

La cantidad de calor que debe transmitirse al cuerpo para cambiar su temperatura en una pequeña cantidad está determinada por la capacidad calorífica del cuerpo [7] C : $\ delta Q$ $\mathrm {d} T,$

C={\frac {\delta Q}{\mathrm {d} T)).

La capacidad calorífica de un cuerpo depende de la cantidad de sustancia Z contenida en él (por ejemplo, expresada en moles), por lo tanto, la sustancia misma se caracteriza por la capacidad calorífica molar [7] referida a un mol de la sustancia (el subíndice m además significa los valores referidos a un mol): $Cm$

C_{m}={\frac{C}{Z)).

Una derivación elemental de la relación de Mayer

La capacidad calorífica molar no es una característica inequívoca de una sustancia, ya que, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica , la cantidad de calor transferido al cuerpo se gasta no solo en un cambio en la energía interna del cuerpo d U (lo que lleva a un cambio de temperatura), sino también del trabajo realizado por el cuerpo durante su expansión: $\ delta A$

\delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (1)

En un caso especial de un proceso isocórico (con un volumen constante del cuerpo), el trabajo es cero, es decir

\delta Q_{V}=\mathrm {d} U,

o, expresando la cantidad de calor en términos de capacidad calorífica (a volumen constante) y cambio de temperatura:

\mathrm {d} U=C_{V}\mathrm {d} T.\qquad (2)

Al mismo tiempo, en un proceso isobárico (a presión constante), la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura en la misma cantidad d T

\delta Q_{P}=C_{P}\mathrm {d} T,\qquad (3)

excede, de acuerdo con la ecuación (1), la cantidad de calor en un proceso isocórico por la cantidad de trabajo realizado por el gas en expansión:

\delta Q_{P}=\mathrm {d} U+\delta A=\mathrm {d} U+P\mathrm {d} V=\mathrm {d} U+\mathrm {d} (PV). \qquad(4)

De acuerdo con la ley de Joule , la energía interna de una cantidad dada de un gas ideal depende únicamente de su temperatura, por lo tanto, el cambio en su energía interna en cualquier proceso se expresa a través de un cambio en su temperatura según la fórmula (2). Por tanto, para un mol de un gas ideal, la relación (4) teniendo en cuenta (2) y (3) tiene la forma: . Además , el trabajo se calcula a partir de la ecuación de estado para un mol de un gas ideal y se obtiene la relación de Mayer (M) dada en el preámbulo. La conclusión sigue el libro de DV Sivukhin [8] . $C_{P,m}\mathrm {d} T=C_{V,m}\mathrm {d} T+\mathrm {d} (PV_{m})$ $PV_{m}=RT$ $\mathrm {d} (PV_{m})=R\mathrm {d} T$

Consecuencias de la relación de Mayer

La ecuación de Mayer relaciona la diferencia de capacidades caloríficas, que se miden (al menos se medían en la época de Mayer) por un método calorimétrico y cuyo resultado de la medida se expresa en unidades de cantidad de calor ( calorías ), con el trabajo mecánico, la cuyo resultado puede expresarse simplemente como elevar un pistón con una carga a cierta altura durante la expansión isobárica del gas. Mayer usó esta relación para definir el equivalente mecánico del calor , es decir, la relación entre unidades de cantidad de calor y unidades de trabajo mecánico [3] [9] [4] [1]

Debido a la relación de Mayer, la capacidad calorífica de un gas a presión constante siempre es mayor que la capacidad calorífica a volumen constante: . La última desigualdad termodinámica es válida para cualquier cuerpo, no necesariamente para un gas ideal, pero su verdad en el caso general se demuestra de otra manera [10] . $C_{P}>C_{V}$

La relación de capacidades caloríficas en procesos con presión constante y volumen constante: se denomina " exponente adiabático " y juega un papel importante en la termodinámica. De la ecuación de Mayer se sigue que: $\gamma ={C_{P}}/{C_{V}}),$

C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1)),\qquad \qquad C_{P,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1))

Una derivación rigurosa de la relación de Mayer

La derivación elemental de la relación de Mayer, además de la ecuación de estado de un gas ideal, utiliza explícitamente la ley de Joule (la afirmación de que la energía interna de un gas ideal no depende de su volumen). Con un enfoque más riguroso, la ley de Joule resulta ser una consecuencia de la ecuación de estado de los gases ideales, lo que se puede demostrar, por ejemplo, utilizando las relaciones de Maxwell .

Comentarios

↑ Gracias a la mención favorable de las obras de Mayer en el libro de F. Engels [6] , en la URSS todas fueron traducidas al ruso.

Notas

↑ 1 2 Zubarev D. N., Ecuación de Mayer, 1992 .
↑ Sivukhin D.V. , Termodinámica y física molecular, 1990 , p. 73.
↑ 12 de mayo , JR, 1862 .
↑ 1 2 Sivukhin D.V. , Termodinámica y física molecular, 1990 , p. 74.
↑ Mayer R., Movimiento orgánico en su conexión con el metabolismo, 1933 , p. 104–106.
↑ Engels, F., Dialéctica de la naturaleza, 2013 , Comentario.
↑ 1 2 Savelyev IV §102. Energía interna y capacidad calorífica de un gas ideal // Curso de física general. — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1970. — T. I. Mecánica, oscilaciones y ondas, física molecular. - S. 340. - 510 pág.
↑ Sivukhin D.V. , Termodinámica y física molecular, 1990 , p. 73–74.
↑ Mayer R., Movimiento orgánico en su conexión con el metabolismo, 1933 , p. 105.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Física estadística. Parte 1, 2001 , Ecuación (20.6).

Literatura

Zubarev, ecuación de D.N. Mayer // Enciclopedia física / Ed. A. M. Projorov. - M. : Enciclopedia soviética, 1992. - T. 3. - S. 27.
Landau L. D. , Lifshitz E. M. Física estadística. Parte 1. - Edición 5ta. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 p. - (" Física Teórica ", Tomo V). — ISBN 5-9221-0054-8 .
Mayer, R. Movimiento orgánico en su conexión con el metabolismo // [www.libgen.io/book/index.php?md5=B12DDCDDC9F91A298110152A42E70326 La ley de conservación y transformación de la energía. Cuatro estudios 1841 - 1851] / Ed. A. A. Maksimov. - L. : GTTI , 1933. - S. 89-222. (enlace no disponible)
Savelyev I.V. Curso de física general. - M. : KnoRus, 2012. - T. 1. Mecánica. Física molecular y termodinámica. — 528 pág. — ISBN 9785406025888 .
Sivukhin DV Curso general de física . - 3ª edición, revisada y ampliada. - M. : Nauka , 1990. - T. II. Termodinámica y física molecular. — 592 pág. — ISBN 5-02-014187-9 .
Engels, Federico . dialéctica de la naturaleza. - Ripol Clásico, 2013. - 354 p. — ISBN 5458505468 , 9785458505468.
Mayer, JR Comentarios sobre las fuerzas de la naturaleza inorgánica // Revista filosófica : revista. - 1862. - T. 24 , núm. 162 . - S. 371-377 . -doi : 10.1080/ 14786446208643372.

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