Conjunto rectificable

Un conjunto rectificable es una generalización de una curva rectificable a dimensiones superiores .

Los conjuntos rectificables son el principal objeto de estudio de la teoría geométrica de la medida . Un gran número de conceptos definidos para variedades suaves se generalizan a conjuntos rectificables . Incluyendo volumen, espacio tangente , el concepto de casi todas partes , etc.

Definición

Un subconjunto en el espacio euclidiano se denomina conjunto -rectificable si existe un conjunto contable de aplicaciones continuamente diferenciables $mi$ $\mathbb{R} ^{n}$ $metro$ $\{f_{i}\}$

{\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))

tal que

{\mathcal {H}}^{m}\left[E\barra invertida \bigcup _{i=0}^{\infty}f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\ derecha)\derecha]=0,

donde denota la medida de Hausdorff -dimensional . ${\mathcal {H}}^{m}$ $metro$

Notas

Las funciones en la definición pueden ser reemplazadas por las de Lipschitz , mientras que la clase de conjuntos rectificables permanecerá sin cambios [1] . $f_{i}$

Notas

↑ En Simón, 1984 , p. 58 esta definición se llama "contable m -rectificable".

Literatura

Federer G., Teoría de la medida geométrica, 1987, p. 760.
Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , vol. 153, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Nueva York: Springer-Verlag, pág. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7
Simon, Leon (1984), Conferencias sobre teoría de la medida geométrica , vol. 3, Actas del Centro de Análisis Matemático, Canberra : Centro de Matemáticas y sus Aplicaciones (CMA), Universidad Nacional de Australia , p. VII + 272 (erratas sueltas), ISBN 0-86784-429-9