Método de gradiente biconjugado estabilizado

El método estabilizado de gradiente biconjugado (BiCGStab ) es un método iterativo para resolver SLAE de tipo Krylov . Desarrollado por Van der Worst (inglés) para resolver sistemas con matrices no simétricas . Converge más rápido que el método de gradiente biconjugado convencional , que es inestable [1] y, por lo tanto, se usa más comúnmente [2] .

Notación

Para SLAEs complejos , el método utiliza dos tipos de productos escalares , en el caso de matrices reales y del lado derecho coinciden.

$(u, v) = \sum_{i=1}^n \overline{u}_i v_i$
$[u, v] = \sum_{i=1}^n u_i v_i$

Algoritmo de método

Para resolver la SLAE de la forma , donde es una matriz compleja, se puede utilizar el siguiente algoritmo [1] [3] por el método estabilizado de gradientes biconjugados : $hacha = b$ $A$

Preparación antes del proceso iterativo

Elegimos una aproximación inicial $x^0$
$r^0 = b - Ax^0$
$\tilde{r} = r^0$
$\rho^0 = \alpha^0 = \omega^0 = 1$
$v^0 = p^0 = 0$

k

-ésima iteración del método

$\rho^k = (\tilde{r}, r^{k-1})$
$\beta^k = \frac{\rho^{k}}{\rho^{k-1}} \frac{\alpha^{k-1}}{\omega^{k-1}}$
$p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})$
$v^k = Ap^k$
$\alpha^k = \frac{\rho^k}{(\tilde{r}, v^k)}$
${\displaystyle s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k))$
$t^k = A s^k$
$\omega^k = \frac{[t^k, s^k]} {[t^k, t^k]}$
$x^k = x^{k-1} + \omega^ks^k + \alpha^kp^k$
$r^k = s^k - \omega^kt^k$

Criterio para detener el proceso iterativo

Además de los criterios de detención tradicionales, como el número de iteraciones ( ) y el residuo especificado ( ), el método también se puede detener cuando el valor es menor que un número predeterminado . $k \le k_{máx}$ $\||r^k|| /||b|| < \varepsilon$ $|\omega^k|$ $\varepsilon_{\omega}$

Véase también

método de gradiente conjugado

Notas

↑ 1 2 Henk A. van der Vorst. Métodos iterativos de Krylov para sistemas lineales grandes. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 2003. - 221 p. — ISBN 9780521818285 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Resolviendo las Ecuaciones de Maxwell usando la Formulación Variacional Ultra Débil . — 2006.
↑ A. Formmer , V. Hannemann , B. Nokel , Th. Lippert , K. Schilling. Aceleración de la inversión de la matriz de fermiones de Wilson por medio del agoritmo Cgadient biconjugado estabilizado . — 1994.

Métodos para resolver SLAE
Métodos directos	método matricial método de Gauss Método de Gauss-Jordan método Cramer descomposición LU Descomposición de Cholesky método de barrido
Métodos iterativos	método jacobi Método de Gauss-Seidel Método de iteración método de relajación método de gradiente conjugado Método de gradiente biconjugado Método de gradiente biconjugado estabilizado
General	matriz inversa Métodos de proyección para resolver SLAE preacondicionamiento