Estadísticas de Maxwell-Boltzmann

La estadística de Maxwell-Boltzmann es un método estadístico para describir sistemas físicos que contienen una gran cantidad de partículas que no interactúan y se mueven según las leyes de la mecánica clásica (es decir, un gas ideal clásico ); propuesta en 1871 por el físico austriaco L. Boltzmann .

Salida de distribución

La distribución de Maxwell-Boltzmann se puede derivar de la distribución general de Gibbs . Considere un sistema de partículas en un campo uniforme. En tal campo, cada molécula de un gas ideal tiene una energía total

\varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z),

donde es la energía cinética de su movimiento de traslación , y es la energía potencial en un campo externo, que depende de su posición. $\varepsilon _{kin}$ $tu$

Sustituyendo esta expresión por energía en la distribución de Gibbs para una molécula de gas ideal

{\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\ cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3))))

(donde es la probabilidad de que la partícula se encuentre en un estado con valores de coordenadas y momentos , en el intervalo ), tenemos: ${\ estilo de visualización \ mathrm {d} w}$ $q$ $pags$ $\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V$

\mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT)) \right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V,

donde la integral de estados es:

z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT))\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x }\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}.

La integración se realiza sobre todos los valores posibles de las variables. La constante de Planck , es la constante de Boltzmann , es la temperatura, . Además, la integral de estados se puede escribir en la forma: $h$ $k$ $T$ ${\ estilo de visualización \ theta = kT}$

z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT)) \right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left (-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V.

Por tanto, la distribución de Gibbs normalizada a la unidad para una molécula de gas en presencia de un campo externo tiene la forma:

\mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2 }}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac { u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V)).

La distribución de probabilidad resultante, que caracteriza la probabilidad de que una molécula tenga un momento en un intervalo dado y esté en un elemento de volumen dado, se denomina distribución de Maxwell-Boltzmann .

Algunas propiedades

Al considerar la distribución de Maxwell-Boltzmann, llama la atención una propiedad importante: se puede representar como un producto de dos factores:

\mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\ Correcto].

El primer factor no es más que la distribución de Maxwell , caracteriza la distribución de probabilidad sobre impulsos. El segundo factor depende únicamente de las coordenadas de las partículas y está determinado por el tipo de energía potencial; caracteriza la probabilidad de encontrar una partícula en el volumen d . $V$

De acuerdo con la teoría de la probabilidad , la distribución de Maxwell-Boltzmann se puede considerar como el producto de las probabilidades de dos eventos independientes: la realización del valor del momento en un intervalo de "momento" dado y la realización de la posición de una molécula en un determinado " intervalo de coordenadas". El primero:

\mathrm {d} w_{p}={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}

es la distribución de Maxwell; segunda oportunidad:

\mathrm {d} w_{r}={\frac {e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac { u}{kT}}}\mathrm {d} V}}

es la distribución de Boltzmann. Obviamente, cada uno de ellos está normalizado a la unidad.

La distribución de Boltzmann es un caso especial de la distribución canónica de Gibbs para un gas ideal en un campo de potencial externo, ya que en ausencia de interacción entre partículas, la distribución de Gibbs se descompone en el producto de las distribuciones de Boltzmann para partículas individuales.

La independencia de las probabilidades da un resultado importante: la probabilidad de un valor dado del momento es completamente independiente de la posición de la molécula y, a la inversa, la probabilidad de la posición de la molécula no depende de su momento. Esto significa que la distribución del momento (velocidad) de las partículas no depende del campo, en otras palabras, permanece igual de un punto a otro en el espacio en el que está encerrado el gas. Solo cambia la probabilidad de detectar una partícula o, de manera equivalente, el número de partículas.

Véase también

Bibliografía

Carter, Ashley H., "Termodinámica clásica y estadística", Prentice–Hall, Inc., 2001, Nueva Jersey.
Raj Pathria , "Mecánica estadística", Butterworth-Heinemann, 1996.