Distribución Maxwell

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La distribución de Maxwell es el nombre general de varias distribuciones de probabilidad que describen el comportamiento estadístico de los parámetros de las partículas de un gas ideal . La forma de la función de densidad de probabilidad correspondiente está dictada por qué cantidad ( velocidad de la partícula , proyección de velocidad, módulo de velocidad, energía , cantidad de movimiento , etc.) actúa como una variable aleatoria continua . En algunos casos, la distribución de Maxwell se puede expresar como una distribución discreta sobre un conjunto de niveles de energía.

La distribución de Maxwell más significativa se escribe para el módulo de velocidad de la partícula en el caso continuo y tiene la densidad: $v$

f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

f_{v}(x)=0\,\,(x<0),

donde es una variable formal, el factor está determinado por el tipo de partículas y la temperatura, y el factor se selecciona en función de garantizar la normalización. Es esta expresión la que se considera la distribución maxwelliana en matemáticas, aunque para otros parámetros de partículas la forma analítica de la distribución maxwelliana será diferente. $X$ $\beta>0$ $B$ $\beta$

La distribución de Maxwell subyace en la teoría cinética de los gases y explica muchas de las propiedades fundamentales de los gases, incluidas la presión y la difusión . Se utiliza para calcular las velocidades y energías promedio y más probables de las moléculas de gas. También es aplicable a la descripción de procesos de transporte electrónico y otros fenómenos en física y química . La distribución de Maxwell se puede obtener usando mecánica estadística (ver el origen de la función de partición ). Esta distribución es la distribución de probabilidad más alta del parámetro estudiado.

Alcance de la distribución de Maxwell

Requisitos para el sistema descrito, ejemplos

La cuestión de la aplicabilidad de la distribución de Maxwell a un sistema particular es equivalente a la cuestión de si este sistema puede considerarse un gas ideal con suficiente precisión. Al mismo tiempo, el sistema debe

consistir en un gran número de partículas y estar en equilibrio termodinámico ;
ser isotrópico ;
ser clásica , es decir, los efectos relativistas y cuánticos deben ser pequeños;
estar dominada por colisiones (la interacción de partículas solo se permite si depende solo de la posición relativa de las partículas, en particular, se permiten colisiones absolutamente elásticas).

Este conjunto de requisitos se cumple principalmente en gases, como el aire, en condiciones normales. La distribución de Maxwell se aplica a una variedad de propiedades de moléculas individuales en un gas. Por lo general, se considera principalmente como la distribución de energía de las moléculas en un gas, pero se puede aplicar a la distribución de velocidades y otros parámetros moleculares. La mayoría de las veces, es una distribución continua a lo largo de un continuo de un cambio en un parámetro aleatorio.

En muchos casos, sin embargo, la condición para el dominio de las colisiones elásticas sobre todos los demás procesos no se cumple ni siquiera aproximadamente. Por lo tanto, en la física de la ionosfera y el plasma espacial , los procesos de recombinación y excitación por colisión (es decir, procesos radiativos), especialmente para los electrones, son de gran importancia. El uso de la distribución de Maxwell en este caso no solo daría resultados cuantitativamente incorrectos, sino que también conduciría a una interpretación cualitativamente incorrecta de los procesos correspondientes.

Condiciones de consideración clásica

En los casos en que la longitud de onda cuántica de De Broglie de las partículas de gas no es pequeña en comparación con la distancia entre las partículas, existen desviaciones de la distribución de Maxwell debido a los efectos cuánticos. Por lo tanto, la cuestión de los límites de aplicabilidad de la consideración clásica es importante.

La relación de incertidumbre (a menudo simplificada escrita en la forma donde son las incertidumbres de la coordenada y la proyección del momento, es la constante de Planck ) tiene un análogo tridimensional de la forma donde denota el tamaño lineal característico de la zona de localización de partículas . Para que las incertidumbres en la coordenada y el momento no jueguen un papel y se pueda aplicar la mecánica clásica, en lugar de la cuántica , se debe satisfacer la relación: $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\sim h,$ ${\ estilo de visualización \ Delta x,}$ ${\ estilo de visualización \ Delta p_ {x}}$ $X$ $h$ $r\cdot p\sim h,$ $r$

V^{1/3}\cdot p\gg h,

donde es el volumen, que en promedio representa una partícula, igual a la concentración recíproca de partículas de gas. Si elevas al cuadrado ambos lados, obtienes: $V$ $n^{{-1}}$

n^{-{\frac {2}{3}}}h^{-2}p^{2}\gg 1.

Teniendo en cuenta eso y tomando la cantidad como valor energético característico , llegamos a: $p^{2}=2mE$ ${\ estilo de visualización (3/2) kT,}$

T\gg {\frac {n^{\frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{grados}\qquad

( es la temperatura de degeneración y es la masa de la partícula).

{\displaystyle T_{grados))

metro

A temperaturas por debajo de la distribución de Maxwell no es aplicable. ${\displaystyle T_{grados))$

Distribución del estado de Maxwell

La distribución de Maxwell se puede escribir como una distribución discreta sobre el conjunto de estados de la molécula, numerados por el símbolo : $i$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}

La energía de una molécula en el estado th y el número de tales moléculas, respectivamente, se denotan por y , es la temperatura del sistema, es el número total de moléculas en el sistema y es la constante de Boltzmann . (Sucede que la ecuación anterior se escribe con un factor que denota el grado de degeneración de los niveles de energía. En este caso, no enumera los estados, sino las energías, y la suma será según las energías, y no según los Estados). Dado que la velocidad está relacionada con la energía, la última ecuación se puede utilizar para derivar la relación entre la temperatura y las velocidades de las moléculas en un gas. El denominador se conoce como función de partición canónica . $E_{yo}$ $n_{yo}$ $i$ $T$ $norte$ $k$ $soldado americano$ $i$

Variedades de la distribución continua de Maxwell

La derivación de las distribuciones de Maxwell presentada en esta sección, que es natural para la literatura educativa moderna, difiere de la derivación propuesta por el mismo James Clerk Maxwell y luego descrita con menos suposiciones por Ludwig Boltzmann . La conclusión histórica se dará al final del artículo.

Distribución del vector de momento

En el caso de un gas ideal de moléculas que no interactúan, toda la energía está en forma de energía cinética. La energía cinética está relacionada con el impulso de la partícula como:

E={\frac{p^{2}}{2m}}

donde es el cuadrado del vector momento , entonces $p^{2}$ $\mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y }^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

donde es la función de partición correspondiente al denominador de la expresión para del apartado anterior y es la masa de la molécula. $Z$ ${\ estilo de visualización N_ {i}/N}$ $metro$

Si los niveles de energía son lo suficientemente densos, el hecho de la discreción pierde importancia y podemos suponer que las energías se distribuyen continuamente. Entonces la relación es proporcional a la función de densidad de probabilidad de que la molécula se encuentre en un estado con estos valores de los componentes del momento. De este modo: ${\ estilo de visualización N_ {i}/N}$ $f_{\mathbf{p} }$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {C}{Z))\exp \left[{\frac {-(p_ {x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

La constante se determina a partir de la condición de normalización, según la cual la probabilidad de que las moléculas tengan cualquier cantidad de movimiento debe ser igual a uno. Por lo tanto, la integral sobre todos los valores y debe ser igual a la unidad. Se puede demostrar que $C$ $f_{\mathbf{p} }$ ${\displaystyle p_{x}\,,p_{y))$ $p_{z}$

\iiiint \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_ {y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\frac {1} {Z}}\izquierda(2\pi mkT\derecha)^{3/2}

Por lo tanto, para que la integral tenga un valor de 1, es necesario que

{\displaystyle C={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT)))^{3))))

Sustituyendo esto en la ecuación y usando el hecho de que , obtenemos: $C$ $f_{\mathbf{p} }$ ${\displaystyle p_{i}=mv_{i))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}} \Correcto]

Distribución de vectores de velocidad

Teniendo en cuenta que la densidad de distribución de velocidades es proporcional a la densidad de distribución de cantidad de movimiento: ${\displaystyle f_{\mathbf {v} ))$

f_{{\mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{\mathbf {p}}}\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{ 3v

y usando , obtenemos: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT} }\Correcto]

que es la distribución de Maxwell sobre tres proyecciones de velocidad cartesianas. La probabilidad de encontrar una partícula en un elemento infinitesimal cercano a la velocidad es: ${\ estilo de visualización dv_{x}\,,dv_{y}\,,dv_{z))$ $\mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]$

{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z))

Distribución de proyección de velocidad

La distribución de Maxwell para el vector de velocidad es el producto de las distribuciones para cada una de las tres direcciones: ${\ estilo de visualización [v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}]}$

f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{ v}(v_{z}),

donde la distribución en una dirección:

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT))}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2)) {2kT}}\derecho]

Esta distribución tiene la forma de una distribución normal . Como cabría esperar de un gas en reposo, la velocidad media en cualquier dirección es cero.

Momento de módulo de distribución

Al integrar, podemos encontrar la distribución sobre la magnitud absoluta del momento:

f_{p}=\int_{\theta =0}^{\pi }\int_{\phi =0}^{2\pi }~f_{\mathbf {p} }p^{2 }\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =4\pi {\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3}}} ~p^{2}\exp \left[{\frac {-p^{2}}{2mkT}}\right].

Distribución de energía

Finalmente, usando las relaciones y , obtenemos la distribución de energía cinética: $p^{2}=2\,mE$ $f_{E}\,dE=f_{p}\,dp$

f_{E}=f_{p}{\frac {dp}{dE}}={\frac {2\pi }{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}{\sqrt {E}}{}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right].

Velocidad de módulo de distribución

Usualmente, la distribución sobre el valor absoluto es más interesante que sobre las proyecciones de las velocidades de las moléculas. Módulo de velocidad, definido como $v$

{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))

siempre es no negativo. Como todo se distribuye normalmente , habrá una distribución chi-cuadrado con tres grados de libertad. Si es una función de densidad de probabilidad para el módulo de velocidad, entonces $v_{i}$ $v^2$ ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}$

f\izquierda(v\derecha)dv=P(\chi ^{2}|3)d\chi ^{2}

donde _ Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad para el módulo de velocidad es ${\ estilo de visualización \ chi ^ {2} = mv ^ {2}/kT}$

f(v)dv=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT))\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)dv

La forma de la función corresponde a la dada en el preámbulo, con la diferencia de que allí se usa una variable formal en aras de una mayor generalidad matemática. $f(v)$ $X$

Velocidades características de las moléculas de gas ideal

La ecuación para da la distribución de velocidades o, en otras palabras, la proporción de moléculas que tienen una velocidad específica. Pero otras cantidades suelen ser más interesantes. A continuación se determinarán las velocidades más probables , media y rms . ${\ estilo de visualización f (v) dv}$

Velocidad más probable

La velocidad más probable , , es la velocidad, la probabilidad de que cualquier molécula del sistema tenga el máximo y que corresponde al valor máximo de la densidad de probabilidad de la distribución (y por lo tanto corresponde a la moda de esta distribución). Para encontrarlo, necesitas calcular , igualar a cero y resolver para : $v_p$ $f(v)$ ${\ estilo de visualización df/dv}$ $v$

{\frac {df(v)}{dv}}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-mv^ {2}/2kT\derecha)\izquierda[8\pi v+4\pi v^{2}(-mv/kT)\derecha]=0

{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m))}={\sqrt {\frac {2RT}{\mu ))))

donde es la masa de la partícula considerada, es la masa molar de . $metro$ $\mu$

Velocidad media

\langle v\rangle =\int \limits _{0}^{\infty}v\,f(v)\,dv

Sustituyendo e integrando, obtenemos $f(v)$

{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m))}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi \mu ))))

Velocidad RMS

\langle v'^{2}\rangle =\int \limits _{0}^{\infty}v^{2}\,f(v)\,dv

Sustituyendo e integrando, obtenemos: $f(v)$

{\sqrt {\langle v'^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}

Derivación histórica de la distribución de Maxwell

Obtengamos ahora la fórmula de distribución de la misma forma que lo hizo el propio Maxwell [1] [2] .

Considere el espacio de puntos de velocidad (representamos cada velocidad de la molécula como un punto (punto de velocidad) en el sistema de coordenadas en el estado estacionario del gas. Elijamos un elemento de volumen infinitesimal . Dado que el gas es estacionario, el número de puntos de velocidad en permanece sin cambios a lo largo del tiempo El espacio de velocidad es isótropo , por lo tanto, las funciones de las densidades de probabilidad para todas las direcciones son las mismas. ${\displaystyle Ov_{x}v_{y}v_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x})=\varphi (v_{x})dv_{x}\qquad dP(v_{y})=\varphi (v_{y})dv_{y}\qquad dP(v_ {z})=\varphi (v_{z})dv_{z}

Maxwell sugirió que las distribuciones de velocidades en direcciones son estadísticamente independientes, es decir, el componente de velocidad de la molécula no depende de los componentes - y -. ${\ Displaystyle v_ {x}}$ ${\ estilo de visualización y}$ $z$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\underbrace {\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})} _ {f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}

- de hecho, la probabilidad de encontrar un punto de alta velocidad en el volumen .

{\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))

f(v)=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})

\ln f(v)=\ln \varphi (v_{x})+\ln \varphi (v_{y})+\ln \varphi (v_{z})\quad {\bigg |}\ cuádruple {\ frac {\ parcial} {\ parcial v_ {x}}}

{\frac {f'(v)}{f(v)}}{\frac {\parcial v}{\parcial v_{x}}}={\frac {\varphi '(v_{x} )}{\varfi (v_{x})))

{\frac {\v parcial}{\v parcial_{x}}}={\frac {v_{x}}{v}}

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))={\frac {1}{v_{x}}}{\frac {\varphi '(v_{x})}{\varfi (v_{x})}}

El lado derecho no depende de y , por lo tanto, el lado izquierdo tampoco depende de y . Sin embargo, y son iguales, por lo que el lado izquierdo no depende de . Entonces esta expresión solo puede ser igual a alguna constante. $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v_{x}$

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))=-\alpha

{\displaystyle {\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x)))))=-\alpha v_{x))

\varphi (v_{x})=Ae^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}

\int \limits_{-\infty}^{\infty}\varphi (v_{x})\,dv_{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad A\int \limits_{-\infty }^{\infty}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=A\,{\sqrt {\frac {2 }{\alpha }}}\,{\sqrt {\pi }}=1\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}

\varphi (v_{x})={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}} {2}}}

Ahora debe dar un paso fundamental: ingresar la temperatura. Definición cinética de temperatura (como medida de la energía cinética promedio del movimiento de las moléculas):

\left\langle {\frac {mv^{2}}{2}}\right\rangle ={\frac {3}{2}}kT,

donde J/K es la constante de Boltzmann . $k=1{,}380649\cdot 10^{-23}$

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}.

En vista de la igualdad de todas las direcciones:

\langle v_{x}^{2}\rangle =\langle v_{y}^{2}\rangle =\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{3 }}\langle v^{2}\rangle ={\frac {kT}{m}}.

Para encontrar el valor medio , lo integramos junto con la función de densidad de probabilidad de menos a más infinito: ${\displaystyle v_{x}^{2))$

{\frac {kT}{m}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{v_{x}}^{2}\,\varphi (v_{x})\ ,dv_{x}={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }v_{x}^{2}\, e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=

\qquad ={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\left[-2\,{\frac {d}{d\alpha }}\,\int \limits_{ -\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}\right]=-2\,{ \sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,{\frac {\delta }{\delta \alpha }}{\sqrt {\frac {2\pi }{\alpha }}}= -2{\sqrt {\alpha }}(-{\frac {1}{2}}\alpha ^{-{\frac {3}{2}}})={\frac {1}{\alpha } }.

De aquí encontramos : $\alfa$

\alpha ={\frac {m}{kT)).

Función de distribución de densidad de probabilidad para (para y similarmente): ${\ Displaystyle v_ {x}}$ ${\ Displaystyle v_ {y}}$ ${\ estilo de visualización v_ {z}}$

\varphi (v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {1}{2}}\,e^{-{\ fracción {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.

Ahora consideremos la distribución de velocidades. Volvamos al espacio de los puntos de velocidad. Todos los puntos con módulo de velocidad se encuentran en una capa esférica de radio y espesor , y es el volumen de un elemento de esta capa esférica. $v\subconjunto [v;v+dv]$ ${\ estilo de visualización v}$ ${\ estilo de visualización dv}$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})dv_{x}dv_ {y}dv_{z}

\underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{\frac {3}{2}}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{ 2kT}}}\soporte inferior {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4\pi v^{2}dv}

dP(v)=\soporte {4\pi \,\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\,v^ {2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}}_{F(v)}dv

Así, hemos obtenido la función de densidad de probabilidad , que es la distribución de Maxwell. ${\ estilo de visualización F (v)}$

Véase también

Notas

↑ aprendizaje. Karavaev V. A. - Física molecular - Casos límite de la distribución binomial (26 de julio de 2017). Recuperado: 3 de marzo de 2019. (indefinido)
↑ aprendizaje. Karavaev V. A. - Física molecular - Distribución de Maxwell (26 de julio de 2017). Recuperado: 3 de marzo de 2019. (indefinido)

Enlaces

http://www.falstad.com/gas/