Tensor de Weyl

El tensor de curvatura de Weil es la parte de traza cero del tensor de curvatura de Riemann . En otras palabras, es un tensor que satisface todas las propiedades de simetría del tensor de Riemann con la condición adicional de que el tensor de Ricci construido a partir de él sea igual a cero.

El nombre de Hermann Weyl .

Definición

El tensor de Weyl se puede obtener a partir del tensor de curvatura restándole ciertas combinaciones del tensor de Ricci y la curvatura escalar. La fórmula para el tensor de Weyl se escribe más fácilmente en términos del tensor de Riemann en la forma del tensor de valencia (0.4):

W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n- 1)}}g\circ g

donde n es la dimensión de la variedad, g es la métrica , R es el tensor de Riemann, Ric es el tensor de Ricci, s es la curvatura escalar y h O k es el llamado producto de Kulkarni-Nomizu , el producto de dos tensores de valencia simétricos (0,2) es el tensor de valencia (0,4) que satisface las simetrías del tensor de curvatura:

$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3 })-$
	${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1}, v_{4}).$

En componentes, el tensor de Weyl viene dado por:

W_{{abcd}}=R_{{abcd}}-{\frac {2}{n-2}}(g_{{a[c}}R_{{d]b}}-g_{{b[c }}R_{{d]a)))+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{{a[c}}g_{{d]b}}

donde es el tensor de Riemann, es el tensor de Ricci, es la curvatura escalar y [] denota la operación de antisimetrización. $R_{abcd}$ $R_{{ab}}$ $R$

Propiedades

El tensor de Weil puede tener una forma no trivial solo en espacios con al menos cuatro dimensiones. En espacios bidimensionales y tridimensionales, los tensores de Weyl son idénticamente iguales a cero.

El tensor de Weyl permanece invariante bajo transformaciones conformes de la métrica . Es decir, si para una métrica dada g introducimos una nueva métrica usando alguna función , entonces el tensor de Weyl de valencia (1,3) no cambia: . Por esta razón, el tensor de Weyl también se llama tensor conforme . De esta propiedad se sigue que ${\tilde {g}}_{{ij}}=\Omega g_{{ij}}$ $\Omega$ ${\tilde {W}}_{{abc}}{}^{d}={W_{{abc}}}^{d}$
- para que una variedad sea conformemente euclidiana , su tensor de Weyl debe ser cero.
- Para dimensiones ≥ 4 esta condición también es suficiente .
- Para espacios de dimensión 3, una condición necesaria y suficiente para que sean conformemente euclidianos es que el tensor Cotton desaparezca .

Tensor de Weyl

Definición

Propiedades

Véase también