Tensor de deformación

El tensor de deformación es un tensor que caracteriza la compresión (estiramiento) y un cambio de forma en cada punto del cuerpo durante la deformación .

El tensor de deformación de Cauchy-Green en un continuo clásico (cuyas partículas son puntos materiales y tienen solo tres grados de libertad de traslación) se define como

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\u_i parcial} {\x_j parcial } + \frac{\u_j parcial} {\x_i parcial } + \sum\limits_l \frac{ \u_l parcial} {\x_i parcial }\frac{\u_l parcial} {\x_j parcial } \right)

donde es un vector que describe el desplazamiento de un punto del cuerpo: sus coordenadas son la diferencia entre las coordenadas de los puntos cercanos después ( ) y antes ( ) de la deformación. La diferenciación se realiza por coordenadas en la configuración de referencia (antes de la deformación). Las distancias antes y después de la deformación están relacionadas a través de : $\mathbf{u}$ $dx^\prime_i$ $dx_i$ $\varepsilon_{ij}$

dl^{\prime 2} = dl^{2} +2 \varepsilon_{ij}\, dx_i \, dx_j

(la suma se realiza sobre índices repetidos).

Por definición, el tensor de deformación es simétrico, es decir, . $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$

En algunas fuentes, este tensor de deformación se denomina tensor de deformación de Green-Lagrange, y la medida de deformación de Cauchy-Green correcta (el tensor de deformación duplicado en cuestión más el tensor unitario) se denomina tensor de deformación de Cauchy-Green derecho.

El tensor de deformación de Cauchy-Green no lineal tiene la propiedad de objetividad material. Esto significa que si una pieza de un cuerpo deformable realiza un movimiento rígido, el tensor de deformación gira junto con el volumen elemental del material. Es conveniente utilizar tales tensores al escribir las ecuaciones constitutivas del material, entonces automáticamente se cumple el principio de objetividad del material, es decir, si el observador se mueve con relación al medio deformable, el comportamiento del material no cambia (la tensión tensor gira en el marco de referencia del observador junto con el volumen elemental del material).

También existen otros tensores de deformación objetivo, por ejemplo, el tensor de deformación de Almansi, el tensor de deformación de Piol, Finger, etc. Algunos de ellos incluyen las derivadas de los desplazamientos a lo largo de las coordenadas en la configuración de referencia (antes de la deformación), y otros incluyen las derivadas de las coordenadas en la configuración actual (después de la deformación).

El hecho de que en un medio continuo clásico la energía de deformación dependa únicamente del tensor de deformación simétrica se deriva de la ley de balance de momentos. Cualquier función biunívoca de un tensor de deformación objetivo también será un tensor de deformación objetivo. Por ejemplo (debido a la simetría y la definición positiva del tensor de deformación) se puede utilizar la raíz cuadrada del tensor de deformación de Cauchy-Green. Sin embargo, al establecer las ecuaciones constitutivas utilizando estos tensores, es importante seguir los supuestos sobre la naturaleza de la dependencia de la energía libre (o tensiones) en los tensores de deformación. Es claro que las suposiciones sobre, digamos, la diferenciabilidad de la energía libre con respecto al tensor de deformación de Cauchy-Green, con respecto a la raíz de la misma, o por su cuadrado, conducirán a ecuaciones de materiales completamente diferentes. Se obtiene una teoría de forma general, lineal en , para valores pequeños solo en el primer caso. $\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$

Para los pequeños , podemos despreciar los términos cuadráticos y usar el tensor de deformación en la forma: $\mathbf{u}$

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\u_i parcial} {\x_j parcial } + \frac{\u_j parcial} {\x_i parcial } \right)

El tensor de deformación lineal de Cauchy-Green (coincide con el tensor de deformación lineal de Almansi hasta el signo) no tiene la propiedad de objetividad material en rotaciones grandes, por lo que no se utiliza en las ecuaciones de gobierno para deformaciones grandes. En la aproximación de pequeñas rotaciones, esta propiedad se conserva.

Los elementos diagonales describen deformaciones lineales de tracción o compresión, los elementos fuera de la diagonal describen deformaciones de corte. $\varepsilon_{ij}$