Teorema del hambre-Shafarevich

El teorema de Golod-Shafarevich es un teorema de álgebra. Fue formulado y probado por E. S. Golod e I. R. Shafarevich en 1964 [1] [2] Sus consecuencias importantes son la respuesta negativa al problema de Kurosh (existe un álgebra nula que no es localmente nilpotente) [3] , un álgebra negativa respuesta al problema general de Burnside (existe un grupo periódico que no es localmente finito) [4] .

Condiciones

Sea un anillo polinomial en variables no conmutadas sobre un campo arbitrario . Sea un álgebra graduada debido a la definición de una función de grado sobre ella. $T=F\izquierda[x_{1},...,x_{d}\derecha]$ ${\ estilo de visualización x_{1},...,x_{d))$ $F$ $T$

Representémoslo como una suma de subespacios , donde , y tiene una base de elementos de la forma , donde las variables se eligen del conjunto . $T$ $T=T_{0}+T_{1}+\ldots +T_{n}+\ldots$ ${\ estilo de visualización T_ {0} = F}$ $T_{n}$ ${\ estilo de visualización d ^ {n}}$ $x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}$ ${\ Displaystyle x_ {i_ {j}}}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {x_ {1},..., x_ {d} \ derecha \}}$

Llamamos a los elementos del espacio elementos homogéneos de grado . $T_{n}$ $norte$

Sea un ideal bilateral del álgebra , generado por elementos homogéneos de grados , respectivamente. Arreglemos para que . El número de aquellos elementos cuyos grados son iguales se denotará como . ${\mathfrak{U}}=(f_{1},f_{2},...)$ $T$ ${\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2},...}$ ${\ estilo de visualización n_ {1}, n_ {2},...}$ ${\ estilo de visualización n_ {1}, n_ {2},...}$ $2\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant \ldots$ ${\ Displaystyle f_ {j}}$ $i$ ${\ Displaystyle r_ {i}}$

El álgebra del cociente hereda la graduación de debido a que el ideal es generado por elementos homogéneos . $A=T/{\mathfrak{U}}$ $T$ ${\mathfrak {U}}$

El álgebra del cociente se puede representar como una suma , donde . $A=A_{0}+A_{1}+\ldots +A_{n}+\ldots$ $A_{i}\simeq T/{\mathfrak {U}}\cap T_{i}$

deja _ $b_{n}=\dim_{F}A_{n}$

Redacción

El álgebra descrita en las condiciones del teorema tiene las siguientes propiedades: $A$

$b_{n}\geqslant db_{n-1}-\sum _{n_{i}\leqslant n}b_{n-n_{i))$ para todos $n\geqslant 1$
Si para cada , entonces es de dimensión infinita sobre . $i$ $r_{i}\leqslant \left({\frac {d-1}{2}}\right)^{2}$ $A$ $F$

Prueba

La demostración del teorema ocupa páginas del libro [5] $cuatro$

Véase también

Problema de Burnside

Notas

↑ Golod E. S. Sobre álgebras nulas y grupos p finitamente aproximables // Izvestiya AN SSSR. Serie matemática. - 1964. - T. 28, número 2 . - S. 273-276 .
↑ Golod E. S. , Shafarevich I. R. Sobre la torre de los campos de clase // Izvestia de la Academia de Ciencias de la URSS. Serie matemática. - 1964. - T. 28, número 2 . - S. 261-272 .
↑ Anillos no conmutativos, 1972 , p. 184.
↑ Anillos no conmutativos, 1972 , p. 185.
↑ Anillos no conmutativos, 1972 , p. 180-183.

Literatura

Herstein I. Anillos no conmutativos. - M. : Mir, 1972. - 191 p.