Teorema de la unidad de Dirichlet

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El teorema de la unidad de Dirichlet es un teorema de la teoría algebraica de números que describe el rango de un subgrupo de elementos invertibles (también llamados unidades ) del anillo de números enteros algebraicos de un campo numérico . ${\mathcal {O}}_{K}$ $k$

Redacción

Sea un campo numérico (es decir, una extensión finita de ) y sea su anillo de enteros. Entonces el rango del grupo de elementos invertibles es igual a , donde es el número de incrustaciones diferentes en el campo de los números reales , y es el número de pares de incrustaciones diferentes conjugadas complejas que no son puramente reales. $k$ $\matemáticas {Q}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\ estilo de visualización d = r + s-1}$ $r$ $k$ $\matemáticas {R}$ $s$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Notas

En otras palabras, hay unidades en el anillo de campo de grado de modo que cada unidad se representa de forma única como ${\mathcal {O}}_{K}$ $k$ ${\ estilo de visualización n = r + 2s}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {1},..., \ varepsilon _ {d}, d = r + s-1}$ $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

donde son enteros, y es alguna raíz de 1 contenida en

{\displaystyle a_{1},...,a_{d))

\zeta

{\mathcal {O}}_{K}

Las unidades cuya existencia se establece por el teorema de Dirichlet se denominan unidades básicas del anillo . ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {1}, \ puntos, \ varepsilon _ {d}}$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Si , donde es la raíz de un polinomio irreducible que tiene raíces , entonces la incrustación es real si y sólo si es una raíz real de la ecuación . $K=\mathbb {Q} (\theta)$ $\ theta$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización \ theta _ {1},..., \ theta _ {n}}$ $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta )\to \mathbb {Q} (\theta _{i})\subconjunto \mathbb {C}$ $\theta _{i}$ $f(x)=0$

Esquema de prueba

Por suposición, hay isomorfismos reales e isomorfismos complejos . Como prueba, los elementos del campo se muestran en dos espacios: lineal y logarítmico . $r$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {1},..., \ sigma _ {r}}$ ${\ estilo de visualización 2s}$ $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma }}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma }}_{ r+s}$ $L$ $A$

$L$ - espacio de filas de la forma , donde con suma y multiplicación por componentes. Definamos como , la incrustación es inyectiva . La imagen del campo es una cierta red discreta - un conjunto de elementos de la forma , donde , y - alguna base de la red. ${\ estilo de visualización (x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})}$ $x_{1},...,x_{r}\en \mathbb {R},x_{r+1},...,x_{r+s}\en \mathbb {C}$ ${\ estilo de visualización x: K \ a L}$ $x(\alpha )=(\sigma_{1}(\alpha ),...,\sigma_{r}(\alpha ),\sigma_{r+1}(\alpha ),. ..,\sigma _{r+s}(\alpha ))$ $L$ $k$ ${\displaystyle a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n))$ $a_{j}\en \mathbb {Z}$ $e_{yo}$

El espacio se organiza así: , , , . - Convierte la multiplicación en suma. Si es la norma , entonces . $A$ ${\ estilo de visualización l: L \ a A}$ $l(x)={\bar {\lambda ))=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$ $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$ $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$ ${\ estilo de visualización l (xy) = l (x) + l (y)}$ ${\ estilo de visualización N (\ alfa)}$ $\alfa$ $\ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$

Además, se considera el conjunto de unidades (elementos reversibles) del campo . Un conjunto es un grupo por multiplicación. Si , entonces , es decir el conjunto está acotado, lo que significa que es finito, lo que significa que consta de raíces de 1 y es un subgrupo de . Si es una unidad arbitraria, entonces , , . Esta ecuación define un hiperplano de dimensión . La imagen es una retícula en , ya que es un grupo por adición y es discreta como imagen continua de una retícula discreta . $mi$ $k$ ${\displaystyle W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\))$ ${\ estilo de visualización l (\ alfa) = 0}$ $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$ ${\ estilo de visualización x (W)}$ $W$ $mi$ $\varepsilon$ ${\ Displaystyle N (\ varepsilon) = 1}$ ${\ estilo de visualización \ ln | N (\ varepsilon) | = 0}$ $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$ $\mathcal{L}$ ${\ estilo de visualización r+s-1}$ ${\ estilo de visualización l (x (E))}$ $A$ ${\ estilo de visualización l (x (E))}$ ${\ estilo de visualización x (E)}$

Así, cualquier unidad , es la raíz de 1, . Queda por demostrar que el rango es exactamente , o que es un entramado completo en . Una red en el espacio es completa si y solo si hay un conjunto acotado en el espacio cuyos desplazamientos por todos los vectores de la red llenan completamente todo el espacio. La demostración utiliza el lema de cuerpo convexo de Minkowski . El set in se toma como el cuerpo del lema . Su volumen es . La aplicación del lema de Minkowski da el siguiente corolario: $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$ $\zeta$ $d\leqslant r+s-1$ $mi$ ${\ estilo de visualización r+s-1}$ ${\ estilo de visualización l (x (E))}$ $\mathcal{L}$ $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1 ,...,s$ $L$ $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$

Si el volumen del paralelepípedo principal generado por los vectores base de la red es igual y los números son tales que , entonces hay un vector distinto de cero en la red tal que . $x({\mathcal {O}}_{K})$ $\Delta$ $c_{k}>0$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $x({\mathcal {O}}_{K})$ $X$ $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,. ..,s$

Para cualquiera , tenemos . Denote - un hiperplano paralelo a . Sea - arbitrario, y . Si - es lo suficientemente grande, entonces , y por lo tanto, por el corolario anterior del lema de Minkowski, existe tal que , es decir , , . ${\ estilo de visualización \ alfa: N (\ alfa) <Q, \ alfa \ neq 0}$ $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$ ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ $\mathcal{L}$ ${\bar {\lambda))^{0}\in {\mathcal {I))$ ${\displaystyle c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k))$ $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma_{r+k}(\alpha )|^{2}< c_{r+k},k=1,...,s$ ${\ estilo de visualización N (\ alfa) <Q}$ $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$

Designemos para el conjunto mencionado arbitrariamente como . Es claro que todos los conjuntos están acotados. , es decir. se obtiene desplazando por el vector ${\ estilo de visualización \ alfa: N (\ alfa) <Q}$ $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ ${\ Displaystyle Y_ {\ alfa}}$ ${\ Displaystyle Y_ {\ alfa}}$ $Y_{\alpha \varepsilon}=Y_{\alpha}+l(\varepsilon)$ ${\ Displaystyle Y_ {\ alfa \ varepsilon}}$ ${\ Displaystyle Y_ {\ alfa}}$ ${\ estilo de visualización l (\ varepsilon)}$

En sólo existe un número finito de números pares no asociados , cuyas normas son menores que en valor absoluto , es decir, si , entonces para alguna unidad . Dado que cubren todo , y , significa que los desplazamientos del conjunto acotado por todos los vectores cubrirán todo . Esto significa que los desplazamientos del conjunto acotado por todos los vectores cubrirán todo , lo que prueba el teorema. ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1},..., \ alfa _ {N}}$ $q$ ${\ estilo de visualización N (\ alfa) <Q}$ ${\ estilo de visualización \ alfa = \ alfa _ {i} \ varepsilon}$ $\varepsilon$ ${\ Displaystyle Y_ {\ alfa}}$ $\mathcal{yo}$ $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon)$ $Y=Y_{\alpha _{1}}\taza ...\taza Y_{\alpha _{N}}$ ${\ estilo de visualización l (\ varepsilon)}$ $\mathcal{yo}$ $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ ${\ estilo de visualización l (\ varepsilon)}$ $\mathcal{L}$

Variaciones y generalizaciones

Dado que la extensión de grado n satisface , entonces , y la igualdad se cumple si y solo si todas las incrustaciones son puramente reales . ${\ estilo de visualización r+2s=n}$ $d\leqslant n-1$ $k$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

El grupo de unidades del campo se agota por raíces de 1 si y solo si , es decir for y for es una extensión cuadrática imaginaria. En todos los demás casos, siempre hay al menos una unidad base. ${\ estilo de visualización r + s = 1}$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d)))$

La existencia de soluciones enteras no triviales de la ecuación de Pell se deriva de este teorema aplicado a una extensión cuadrática de . $x^{2}-mi^{2}=1$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {m)))$ $\matemáticas {Q}$

El caso del grupo de elementos invertibles de máximo rango está relacionado [1] con las fracciones continuas multidimensionales .

Literatura

↑ VI Arnold. Fracciones encadenadas . - M .: MTSNMO , 2001. - S. 35. - ISBN 5-94057-014-3 . Archivado el 8 de julio de 2011 en Wayback Machine .

Ireland K., Rosen M. Una introducción clásica a la teoría de números moderna. - M. : Mir, 1987. - S. 237.
Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Teoría de Números . - M. : Nauka, la principal edición de literatura física y matemática, 1985. - P. 131 .